数学 › 可換環論 › 加群・完全列・中山の補題

局所的性質

定理 5.3（「加群・完全列・中山の補題」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ 加群 $M$ と準同型 $f\colon M \to N$ について次が成り立つ。

$M = 0$ 、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $M_{\mathfrak{p}} = 0$ 、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $M_{\mathfrak{m}} = 0$ 、の三つは同値である。
$f$ が単射（全射）であることと、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $f_{\mathfrak{m}}\colon M_{\mathfrak{m}} \to N_{\mathfrak{m}}$ が単射（全射）であることは同値である。
列 $M' \to M \to M''$ が $M$ で完全であることと、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ でその局所化が完全であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 11 件

整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
加群の局所化の貼り合わせ✓補題 3.1・準連接層・連接層と直線束
準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
爆発の座標近傍✓補題 7.2・曲面上の交叉理論
可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大
平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
絶対平坦環の特徴づけ✓命題 7.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

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