可逆イデアルの特徴づけ

定理 4.3（「離散付値環と Dedekind 環」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を整域、 $I$ を分数イデアルとする。次は同値である。

$I$ は可逆である。
$I$ は有限生成射影 $A$ 加群である。
$I$ は有限生成で、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $I_{\mathfrak{p}}$ は $0$ でない単項分数イデアル $xA_{\mathfrak{p}}$ である。
$I$ は有限生成で、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $I_{\mathfrak{m}}$ は単項である。

とくに可逆イデアルは、すべての素イデアルで階数が $1$ の有限生成射影加群である。 $A$ が Noether なら、分数イデアルは自動的に有限生成である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
  - 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- Schanuel の補題✓補題 5.6・加群・完全列・中山の補題
  - 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
    Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
    行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 5 件

安定的に自由な可逆イデアルは単項✓補題 8.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環上の有限生成加群✓命題 10.3・離散付値環と Dedekind 環

可逆イデアルの特徴づけ

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