Pic = Cl

系 4.4（「離散付値環と Dedekind 環」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を整域、 $K = \operatorname{Frac} A$ とする。

すべての素イデアルで階数 $1$ の有限生成射影 $A$ 加群は、可逆イデアルと同型である。
分数イデアル $I, J$ が $A$ 加群として同型であることと、ある $x \in K^{\times}$ で $J = xI$ となることは同値である。より詳しく、準同型 $I \to J$ はすべて $K$ のある元による掛け算である。
可逆イデアル $I, J$ について、 $a \otimes b \mapsto ab$ は同型 $I \otimes_A J \cong IJ$ を与える。

したがって $I \mapsto [I]$ は全単射 $\operatorname{Cl}(A) \to \operatorname{Pic}(A)$ を引き起こし、積をテンソル積に写す。とくに $\operatorname{Pic}(A)$ はテンソル積について群で、 $\operatorname{Cl}(A)$ と同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
    中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - Schanuel の補題✓補題 5.6・加群・完全列・中山の補題
    分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
    核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
    aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環

Pic = Cl

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件