Picard 群

命題 7.4（「準連接層・連接層と直線束」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を環付き空間とする。

$\mathcal{L}$ 、 $\mathcal{L}'$ が可逆層ならば $\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}'$ と $\mathcal{L}^{\vee}$ は可逆層で、評価 $\varphi \otimes s \mapsto \varphi(s)$ は同型 $\mathcal{L}^{\vee} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X$ を与える。
$\operatorname{Pic} X$ は $[\mathcal{L}] \cdot [\mathcal{L}'] = [\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}']$ を演算とするアーベル群で、単位元は $[\mathcal{O}_X]$ 、 $[\mathcal{L}]$ の逆元は $[\mathcal{L}^{\vee}]$ である。
$A$ を Noether 環とする。 $M \mapsto \widetilde{M}$ は、すべての素イデアルで階数 $1$ の有限生成射影 $A$ 加群の同型類の全体から $\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec} A)$ への、テンソル積を保つ全単射である。とくに $A$ が Noether 整域（たとえば Dedekind 整域）ならば、 $\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec} A)$ は $A$ のイデアル類群 $\operatorname{Cl}(A)$ と同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 125 件、定義なども含めて 151 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
層の貼り合わせ✓定理 8.1・層
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
  - アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 有限射影加群の階数定義 5.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

行列式層の性質✓補題 6.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束
Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束

Picard 群

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件