Cartier 因子類群と Picard 群

定理 4.4（「因子と直線束」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を整スキームとする。

$\mathcal O_X(D)$ は可逆層で、 $D \mapsto \mathcal O_X(D)$ は Cartier 因子と $\mathcal K$ の可逆な部分 $\mathcal O_X$ 加群の全単射である。
$\mathcal O_X(D_1 + D_2) \cong \mathcal O_X(D_1) \otimes \mathcal O_X(D_2)$ 、 $\mathcal O_X(-D) \cong \mathcal O_X(D)^\vee$ である。
$D_1 \sim D_2$ と $\mathcal O_X(D_1) \cong \mathcal O_X(D_2)$ は同値である。
すべての可逆層は $\mathcal K$ のある可逆な部分加群と同型である。したがって $D \mapsto \mathcal O_X(D)$ は群の同型 $\operatorname{CaCl} X \cong \operatorname{Pic} X$ を誘導する。
$\Gamma(X, \mathcal O_X(D)) = \{f \in K^\times : D + \operatorname{div}(f) \text{ は有効}\} \cup \{0\}$ で（ $\operatorname{div}(f)$ は主 Cartier 因子）、 $0$ でない切断 $f$ の零点因子は $D + \operatorname{div}(f)$ である。 $f \mapsto D + \operatorname{div}(f)$ は全単射 $(\Gamma(X, \mathcal O_X(D)) \setminus \{0\})/\Gamma(X, \mathcal O_X^*) \to |D|$ を与える。可逆層 $\mathcal L$ の $0$ でない切断 $s$ について $\mathcal O_X((s)_0) \cong \mathcal L$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 126 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
    普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
    加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
    Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
    開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
    アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
    V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束
  - 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 有限射影加群の階数定義 5.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環
  - 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

射影空間の Picard 群✓系 4.5・因子と直線束
$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理

Cartier 因子類群と Picard 群

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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