代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉）

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層コホモロジーを大域切断関手の右導来関手として定義し、Čech コホモロジーによる計算、射影空間のコホモロジー、Serre の有限性定理と双対定理を証明して、

想定読者: 大学院生（修士課程）、代数幾何 I を学び終えて曲線・曲面・数論幾何に進む人

前提テーマ:代数幾何 I（多様体とスキーム）

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理無料層コホモロジーを大域切断関手の右導来関手として定義し、脆弱層による計算、Mayer–Vietoris 完全列、Grothendieck の消滅定理、Noether アフィンスキーム上の準連接層の消滅と Serre のアフィン判定法、高次順像と Leray のスペクトル系列を証明する。
2. 第 2 章Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー無料開被覆の Čech 複体を定義し、有限交叉の上で非輪状な被覆では Čech コホモロジーが層コホモロジーに一致することを示す。それを使って射影空間上の O(n) のコホモロジーを計算し、Serre の有限性定理、Euler 標数の加法性、Hilbert 多項式、平面曲線の算術種数を導く。
3. 第 3 章因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射無料Weil 因子と因子類群、Cartier 因子と Picard 群の対応を証明し、射影空間の因子類群を計算する。可逆層と大域切断による射影空間への射の分類、閉はめ込みの判定法、豊富性と非常に豊富性・コホモロジーによる判定法までを扱う。
4. 第 4 章Ext 層と Serre 双対無料O_X 加群の Ext 群と Ext 層、局所から大域へのスペクトル系列を準備し、射影空間の双対定理、双対化層の存在と一意性、Cohen–Macaulay 射影スキームの Serre 双対定理を証明する。局所完全交叉では双対化層が標準層に一致することを Koszul 複体で示す。
5. 第 5 章曲線と Riemann–Roch の定理無料非特異射影曲線の射が有限であること、曲線と 1 変数関数体の圏同値、因子の次数と引き戻しを証明し、Euler 標数の加法性と Serre 双対から Riemann–Roch の定理を導いて、基点・埋め込みの判定と種数 0 の曲線の決定までを示す。
6. 第 6 章Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み無料曲線の分離的な有限射について分岐因子と Riemann–Hurwitz の公式を証明し、Lüroth の定理、楕円曲線の群構造と Weierstrass 形・j 不変量、標準写像と超楕円曲線、Clifford の定理、自己同型群の Hurwitz の上界 84(g−1) までを導く。
7. 第 7 章曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理無料非特異射影曲面の上で交点数を Euler 標数で定義し、双線形性と局所交点数の和への分解を証明する。そこから曲面の Riemann–Roch、随伴公式、Bézout の定理、Hodge 指数定理、1 点の爆発と例外曲線、爆発による種数の変化を導く。