曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理

0. この記事の要点

平面上の 2 本の曲線が何か所で交わるかは、ふつうは点を数えれば分かります。ところが、2 本が接しているときや、同じ曲線どうしを交わらせるときには、「何点で交わるか」が曖昧になります。この記事では、交わりの数を点の個数としてではなく、ある量の差として最初から定義し、どんな場合にも使える「交点数」を作ります。読み終えると、曲面上の曲線の種数や、特異点が爆発でほどける様子を、数の計算で追えるようになります。

• 曲面は代数閉体 $k$ 上の非特異な射影的整 $2$ 次元スキームです。可逆層 $\mathcal{L}, \mathcal{M}$ の交点数を $(\mathcal{L}.\mathcal{M}) = \chi(\mathcal{O}_X) - \chi(\mathcal{L}^{-1}) - \chi(\mathcal{M}^{-1}) + \chi(\mathcal{L}^{-1} \otimes \mathcal{M}^{-1})$ で定義します。これは $\operatorname{Pic} X$ 上の対称な双線形形式です。
• 共通成分をもたない有効因子 $C, D$ では $C.D = \sum_P (C.D)_P$、$(C.D)_P = \ell(\mathcal{O}_P/(f, g))$ です。$C$ が非特異曲線なら $C.D = \deg \mathcal{O}_X(D)|_C$ です。
• 曲面の Riemann–Roch $\chi(\mathcal{O}_X(D)) = \tfrac{1}{2}D.(D - K) + \chi(\mathcal{O}_X)$ と随伴公式 $2p_a(C) - 2 = C.(C + K)$ が成り立ちます。$\mathbb{P}^2$ では次数 $d, e$ の曲線が $de$ 点で交わります（Bézout）。
• Hodge 指数定理: $H$ が豊富で $D.H = 0$ なら $D^2 \le 0$ で、等号は $D$ が数値的に $0$ のときに限ります。交点形式の符号は $(1, \rho - 1)$ 型です。
• 1 点 $P$ の爆発 $\pi\colon \tilde{X} \to X$ は非特異射影曲面で、例外曲線 $E \cong \mathbb{P}^1$ は $E^2 = -1$ を満たします。$\operatorname{Pic}\tilde{X} \cong \operatorname{Pic} X \oplus \mathbb{Z}E$、$K_{\tilde{X}} = \pi^*K_X + E$ で、重複度 $m$ の点を爆発すると曲線の算術種数は $m(m-1)/2$ 下がります。

この記事で使う事前知識

• Euler 標数: コホモロジーの次元の交代和 $\sum_i (-1)^i\dim H^i$。完全列について加法的です。→ Euler 標数
• 可逆層: 局所的には構造層と同じ形をしている層（直線束に当たるもの）。→ 可逆層
• 正則局所環: 極大イデアルが次元の個数の元で生成される局所環。→ 正則局所環
• 正則列: 各元が、それまでの元で割った環の上で零因子にならないような元の列。→ 正則列
• 豊富な因子: 何倍かすると射影空間への埋め込みを与える因子。→ 豊富
• 種数と標準因子: 曲線の「穴の数」と、微分形式の因子。→ 種数・標準因子

1. 動機

平面上の 2 直線は 1 点で交わり、直線と円錐曲線は（重複度を込め、無限遠も数えて）2 点で交わります。「次数 $d$ と $e$ の曲線は $de$ 点で交わる」という Bézout の定理を一般の曲面に持ち上げようとすると、2 つの問題にぶつかります。1 つは、接している場合や特異点を通る場合の重複度をどう数えるか。もう 1 つは、同じ曲線どうしの交点数 $C.C$ のように、交わりが点の集合にならない場合をどう扱うかです。

古典的な方法は、$C$ を線形同値な別の曲線に「動かして」横断的に交わるようにしてから数えるというものです。動かせることの証明には Bertini の定理が要ります。この記事では別の道を取ります。交点数を最初から Euler 標数の交代和で定義してしまうのです。この定義は可逆層の同型類だけで決まるので、線形同値で変わらないことは定義から明白で、自己交点数も同じ式で定まります。証明すべきことは、この数が双線形であることと、交わりが有限個の点のときに局所的な重複度の和に一致することです。前者は曲線上の層の Euler 標数の計算に、後者は正則列の Koszul 複体に帰着します。

交点数が手に入ると、曲面の幾何の基本公式が次々に出ます。Serre 双対と合わせると曲面の Riemann–Roch が出て、そこから随伴公式（曲面上の曲線の種数）と Hodge 指数定理（交点形式の符号）が従います。最後に、曲面の双有理幾何の基本操作である 1 点の爆発を座標で構成し、交点数がどう変わるかを計算します。

2. 準備：曲面・因子・局所交点数

$k$ は代数閉体とします。曲面は $k$ 上の非特異な射影的整 $2$ 次元スキームです。前章までと同じく、曲線は非特異な射影的整 $1$ 次元スキームを指します。曲面 $X$ の点（閉点）$P$ の局所環 $\mathcal{O}_P$ は $2$ 次元の正則局所環で（定理 2.4［次元・正規性・非特異性と微分の層］、定義 6.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、一意分解整域です（定理 8.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。したがって Weil 因子と Cartier 因子は一致し（定理 4.2［因子と直線束］）、$D \mapsto \mathcal{O}_X(D)$ は因子類群から $\operatorname{Pic} X$ への同型です（定理 4.4［因子と直線束］）。

有効因子 $D$ は、イデアル層 $\mathcal{O}_X(-D)$ の定める閉部分スキームと同一視します。点 $P$ の近傍で $\mathcal{O}_X(-D)$ を生成する $f \in \mathcal{O}_P$ を $D$ の $P$ での局所方程式といいます。$D$ の素因子（既約成分）は、$f$ の素因数に対応します。$0$ でない有効因子を曲面上の曲線ともいいます。これは特異点をもっても、可約でも、被約でなくてもかまいません。可逆層 $\mathcal{M}$ について $\mathcal{M}|_D = \mathcal{M} \otimes \mathcal{O}_D$ と書き、$X$ 上の連接層とみなします（コホモロジーは $D$ の上で計算しても同じです。系 8.4［層コホモロジー］）。連接層 $\mathcal{F}$ の Euler 標数 $\chi(\mathcal{F}) = \sum_i (-1)^i\dim_k H^i(X, \mathcal{F})$ は有限で（定理 6.2［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）、短完全列について加法的です（命題 7.2［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）。

次の補題は、2 つの曲線の局所方程式 $f, g$ が共通の因子をもたなければ、$f, g$ で割った環の大きさ（長さ）が有限になり、$g$ 倍が $f$ で割った環の上で単射になる、という準備です。この単射性が、後で完全列を作るときに効きます。

補題 2.1（互いに素な 2 元は正則列）✓

$(\mathcal{O}, \mathfrak{m})$ を $2$ 次元の正則局所環、$f, g \in \mathcal{O}$ を $0$ でなく共通の素因数をもたない元とする。

1. $g$ 倍写像 $\mathcal{O}/(f) \to \mathcal{O}/(f)$ は単射である。
2. $\mathcal{O}/(f, g)$ は有限の長さをもつ。$f$ か $g$ が単元ならこれは $0$ で、どちらも単元でなければ $0$ でない。

証明（補題 2.1）

(1) $gh \in (f)$ とします。$\mathcal{O}$ は一意分解整域で、$f$ と $g$ は共通の素因数をもたないので、$f \mid gh$ から $f \mid h$ です。

(2) 一方が単元なら $(f, g) = \mathcal{O}$ です。どちらも単元でないとします。$(f, g) \subseteq \mathfrak{m}$ なので商は $0$ ではありません。$(f, g)$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ を取ります。$\mathfrak{p} \ne 0$ です。$\mathfrak{p}$ の高さが $1$ なら、$\mathfrak{p}$ は単項イデアル $(\pi)$ で（補題 8.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、$\pi$ は $f$ と $g$ の共通の素因数になり仮定に反します。$\dim \mathcal{O} = 2$ なので $\mathfrak{p}$ の高さは $2$、すなわち $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ です。よって $\mathcal{O}/(f, g)$ は次元 $0$ の Noether 環で、Artin 環であり（定理 6.3［Noether 環と Artin 環］）、有限の長さをもちます（命題 5.2［Noether 環と Artin 環］）。

∎

(1) は $f, g$ が正則列（定義 7.1［Tor・Ext と深さ］）であることを言っています。このとき Koszul 複体 $0 \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}^2 \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}/(f, g) \to 0$ は完全で（定理 8.3［Tor・Ext と深さ］）、これを層にしたものが §1 で触れた完全列 $0 \to \mathcal{O}(-C - D) \to \mathcal{O}(-C) \oplus \mathcal{O}(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{C \cap D} \to 0$ です。下では、同じ内容を「$g$ 倍が $\mathcal{O}_C$ の上で単射」という形で使います。

定義 2.2（局所交点数・横断的な交わり）↗

$C, D$ を曲面 $X$ の共通成分をもたない有効因子、$P$ を点、$f, g \in \mathcal{O}_P$ を $C, D$ の局所方程式とする。

$$(C.D)_P = \ell_{\mathcal{O}_P}\big( \mathcal{O}_P/(f, g) \big)$$

を $C$ と $D$ の $P$ での局所交点数という。これは $P \in C \cap D$ のときに限り正である。$(C.D)_P = 1$、すなわち $(f, g) = \mathfrak{m}_P$ のとき、$C$ と $D$ は $P$ で横断的に交わるという。$C \cap D$ は、イデアル層 $\mathcal{O}_X(-C) + \mathcal{O}_X(-D)$ の定める閉部分スキームを表す。

局所方程式は単元倍を除いて決まるので、$(C.D)_P$ は局所方程式の取り方によりません。$C \cap D$ の台は有限集合です。実際、$C \cap D$ は $X$ の閉集合で、$1$ 次元の既約成分があればそれは $C$ と $D$ の共通成分になるので、$0$ 次元、つまり有限個の点です。

補題 2.3（有限個の点に台をもつ層の Euler 標数）✓

$C, D$ を曲面 $X$ の共通成分をもたない有効因子、$\mathcal{N}$ を可逆層とする。このとき $H^i(X, \mathcal{N} \otimes \mathcal{O}_{C \cap D}) = 0$（$i > 0$）で、

$$\chi(\mathcal{N} \otimes \mathcal{O}_{C \cap D}) = \dim_k H^0(X, \mathcal{N} \otimes \mathcal{O}_{C \cap D}) = \sum_{P} (C.D)_P$$

である。

証明（補題 2.3）

$\mathcal{F} = \mathcal{N} \otimes \mathcal{O}_{C \cap D}$ の台は有限個の閉点 $P_1, \ldots, P_r$ で、茎は $\mathcal{F}_{P_i} \cong \mathcal{O}_{P_i}/(f, g)$ です。茎への制限が定める射 $\mathcal{F} \to \bigoplus_i (\mathcal{F}_{P_i} \text{ を値とする } P_i \text{ の摩天楼層})$ はすべての茎で同型なので同型です（命題 3.2［層］）。摩天楼層は脆弱なので高次コホモロジーは消え（定理 4.4［層コホモロジー］）、$H^0(X, \mathcal{F}) = \bigoplus_i \mathcal{F}_{P_i}$ です。有限の長さをもつ $\mathcal{O}_P$ 加群の組成列の各商は $\mathcal{O}_P/\mathfrak{m}_P = k$ と同型なので、$k$ 上の次元は長さに等しく（命題 5.5［Noether 環と Artin 環］）、$\dim_k \mathcal{F}_{P_i} = (C.D)_{P_i}$ です。

∎

3. 交点数の定義と双線形性

定義 3.1（交点数）↗

曲面 $X$ の可逆層 $\mathcal{L}, \mathcal{M}$ に対し

$$(\mathcal{L}.\mathcal{M}) = \chi(\mathcal{O}_X) - \chi(\mathcal{L}^{-1}) - \chi(\mathcal{M}^{-1}) + \chi(\mathcal{L}^{-1} \otimes \mathcal{M}^{-1})$$

を交点数という。因子 $C, D$ については $C.D = (\mathcal{O}_X(C).\mathcal{O}_X(D))$ とおき、$D^2 = D.D$ を自己交点数という。

定義から $(\mathcal{L}.\mathcal{M}) = (\mathcal{M}.\mathcal{L})$ で、値は同型類だけで決まります。したがって $C.D$ は $C, D$ の線形同値類だけで決まります。

補題 3.2（有効因子との交点数）✓

$D$ を曲面 $X$ の有効因子、$\mathcal{M}$ を可逆層とする。このとき

$$(\mathcal{O}_X(D).\mathcal{M}) = \chi(\mathcal{O}_D) - \chi(\mathcal{M}^{-1}|_D)$$

である。

証明（補題 3.2）

完全列 $0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0$ から $\chi(\mathcal{O}_X) - \chi(\mathcal{O}_X(-D)) = \chi(\mathcal{O}_D)$ です。これに局所自由層 $\mathcal{M}^{-1}$ をテンソルした列も完全で、$\chi(\mathcal{M}^{-1}) - \chi(\mathcal{M}^{-1}(-D)) = \chi(\mathcal{M}^{-1}|_D)$ です。2 式の差が定義の右辺です。

∎

補題 3.3（切断を掛ける完全列）✓

$D$ を曲面 $X$ の有効因子、$\mathcal{M}$ を可逆層、$s$ を $\mathcal{M}$ の $0$ でない大域切断とし、$s$ の零点の因子 $E$ が $D$ と共通成分をもたないとする。このとき、任意の可逆層 $\mathcal{L}$ について

$$0 \to \mathcal{L}|_D \xrightarrow{\ s\ } (\mathcal{L} \otimes \mathcal{M})|_D \to (\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}) \otimes \mathcal{O}_{D \cap E} \to 0$$

は完全で、$\chi((\mathcal{L} \otimes \mathcal{M})|_D) - \chi(\mathcal{L}|_D) = \sum_P (D.E)_P$ である。右辺は $\mathcal{L}$ によらない。

証明（補題 3.3）

点 $P$ の近傍で $\mathcal{L}$ と $\mathcal{M}$ を自明化すると、$s$ は $E$ の局所方程式 $g$ に対応し、列は茎の上で

$$0 \to \mathcal{O}_P/(f) \xrightarrow{\ g\ } \mathcal{O}_P/(f) \to \mathcal{O}_P/(f, g) \to 0$$

（$f$ は $D$ の局所方程式）です。$g$ 倍は 補題 2.1 の (1) により単射で、余核は $\mathcal{O}_P/(f, g)$ です。Euler 標数の加法性と 補題 2.3 から後半を得ます。

∎

次の補題は、交点数が双線形であることを示すための道具で、ほしい切断を「たまたま悪い場所を通らないように選べる」ことを言っています。証明は、有限個の真部分空間で全体のベクトル空間は覆えない、という事実に帰着します。

補題 3.4（成分を避ける切断）✓

$\mathcal{N}$ を曲面 $X$ 上の大域切断で生成される可逆層、$D$ を有効因子、$x_1, \ldots, x_r$ を有限個の点とする。このとき、どの $x_i$ でも消えない大域切断 $s$ で、その零点の因子が $D$ と共通成分をもたないものがある。

証明（補題 3.4）

$D$ の各素因子の上に点を 1 つずつ取り、$x_1, \ldots, x_r$ に付け加えた有限集合を $x_1, \ldots, x_{r'}$ とします。$V = H^0(X, \mathcal{N})$ は有限次元で、$V_i = \{ s \in V : s(x_i) = 0 \}$ は、$\mathcal{N}$ が大域切断で生成されるので真の部分空間です。無限体上のベクトル空間は有限個の真の部分空間の和集合にはなりません（個数 $r'$ を最小に取ったとして $V = \bigcup V_i$ とすると、$v \in V_1 \setminus \bigcup_{i > 1}V_i$ と $w \notin V_1$ が取れます。無限個のベクトル $w + cv$（$c \in k$）は $V_1$ に入らないので、ある $V_i$（$i > 1$）が 2 つを含み、その差の定数倍 $v$ を含んでしまいます）。よってどの $x_i$ でも消えない $s$ があります。$s$ の零点の因子は $x_i$ を通らないので、$x_i$ を通る $D$ の素因子を含みません。

∎

次の定理の証明の見通しは三段です。まず、有効因子 $D$ を固定して可逆層 $\mathcal{M}$ を動かすと、$\chi(\mathcal{M}|_D) - \chi(\mathcal{O}_D)$ が加法的になることを示します（第 1 段）。これを使って、切断をもつ層について交点数が加法的であることを確かめ（第 2 段）、最後に任意の可逆層を、切断をもつ 2 つの層の商として書いて双線形性に広げます（第 3 段）。

定理 3.5（交点形式）✓

$X$ を曲面とする。

1. $(\mathcal{L}.\mathcal{M})$ は $\operatorname{Pic} X \times \operatorname{Pic} X \to \mathbb{Z}$ の対称な双線形形式である。したがって $C.D$ は因子について対称かつ双線形で、線形同値で不変である。
2. 有効因子 $D$ と可逆層 $\mathcal{M}$ について $(\mathcal{O}_X(D).\mathcal{M}) = \chi(\mathcal{M}|_D) - \chi(\mathcal{O}_D)$ である。

証明（定理 3.5）

$X$ の非常に豊富な可逆層 $\mathcal{O}_X(1)$ を固定します。任意の可逆層 $\mathcal{M}$ について、$n$ が大きければ $\mathcal{M}(n)$ と $\mathcal{O}_X(n)$ は大域切断で生成されます（定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］）。

第 1 段：有効因子 $D$ を固定すると $\varphi_D(\mathcal{M}) = \chi(\mathcal{M}|_D) - \chi(\mathcal{O}_D)$ は準同型 $\operatorname{Pic} X \to \mathbb{Z}$ である。 $G$ を、すべての $\mathcal{L}$ について $\varphi_D(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}) = \varphi_D(\mathcal{L}) + \varphi_D(\mathcal{M})$ を満たす $\mathcal{M}$ の全体とします。$G$ は $\operatorname{Pic} X$ の部分群です。積で閉じることは定義から分かります。$\mathcal{M} \in G$ なら、$\mathcal{L} = \mathcal{M}^{-1}$ として $0 = \varphi_D(\mathcal{O}_X) = \varphi_D(\mathcal{M}^{-1}) + \varphi_D(\mathcal{M})$、また $\varphi_D(\mathcal{L}) = \varphi_D(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}^{-1}) + \varphi_D(\mathcal{M})$ なので $\varphi_D(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}^{-1}) = \varphi_D(\mathcal{L}) + \varphi_D(\mathcal{M}^{-1})$ で、$\mathcal{M}^{-1} \in G$ です。

$\mathcal{M}$ が大域切断で生成されるなら、補題 3.4 により零点の因子が $D$ と共通成分をもたない切断があり、補題 3.3 により $\chi((\mathcal{L} \otimes \mathcal{M})|_D) - \chi(\mathcal{L}|_D)$ は $\mathcal{L}$ によらない定数です。$\mathcal{L} = \mathcal{O}_X$ とするとこの定数は $\varphi_D(\mathcal{M})$ なので、$\varphi_D(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}) - \varphi_D(\mathcal{L}) = \varphi_D(\mathcal{M})$、すなわち $\mathcal{M} \in G$ です。任意の $\mathcal{M}$ は $\mathcal{M}(n) \otimes \mathcal{O}_X(n)^{-1}$ と書け、両方の因子が $G$ に入るので、$G = \operatorname{Pic} X$ です。

第 2 段：(2)。 補題 3.2 と第 1 段から $(\mathcal{O}_X(D).\mathcal{M}) = -\varphi_D(\mathcal{M}^{-1}) = \varphi_D(\mathcal{M})$ です。とくに、$\mathcal{L}$ が $0$ でない大域切断をもつ（$\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X(D)$、$D$ は有効）なら、$\mathcal{M} \mapsto (\mathcal{L}.\mathcal{M})$ は加法的です。

第 3 段：双線形性。 3 つの可逆層について

$$s(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, \mathcal{M}) = (\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{L}_2.\mathcal{M}) - (\mathcal{L}_1.\mathcal{M}) - (\mathcal{L}_2.\mathcal{M})$$

とおきます。定義を代入すると、$a = \mathcal{L}_1^{-1}$、$b = \mathcal{L}_2^{-1}$、$c = \mathcal{M}^{-1}$ として

$$s = -\chi(\mathcal{O}_X) + \chi(a) + \chi(b) + \chi(c) - \chi(a \otimes b) - \chi(a \otimes c) - \chi(b \otimes c) + \chi(a \otimes b \otimes c)$$

で、$s$ は 3 つの引数について対称です。第 2 段と交点数の対称性から、$\mathcal{M}$ が $0$ でない大域切断をもてば $s(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, \mathcal{M}) = 0$ で、$s$ の対称性から、3 つの引数のどれか 1 つが $0$ でない大域切断をもてば $s = 0$ です。

任意の $\mathcal{M}$ を $\mathcal{M} = \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}^{-1}$、$\mathcal{A} = \mathcal{M}(n)$、$\mathcal{B} = \mathcal{O}_X(n)$ と書きます。$\mathcal{A}, \mathcal{B}$ は $0$ でない大域切断をもちます。任意の $\mathcal{L}$ について $s(\mathcal{M}, \mathcal{B}, \mathcal{L}) = 0$ なので $(\mathcal{A}.\mathcal{L}) = (\mathcal{M}.\mathcal{L}) + (\mathcal{B}.\mathcal{L})$、すなわち

$$(\mathcal{M}.\mathcal{L}) = (\mathcal{A}.\mathcal{L}) - (\mathcal{B}.\mathcal{L})$$

です。右辺の 2 項は第 2 段により $\mathcal{L}$ について加法的なので、左辺もそうです。対称性と合わせて双線形です。

∎

定義の右辺は、4 つの Euler 標数の「2 階の差分」です。$\chi(\mathcal{O}_X(D))$ が $D$ の 2 次関数である（次節の Riemann–Roch）ことを先取りすれば、2 階の差分が双線形形式になるのは自然です。証明の実質は第 1 段で、曲線上の Riemann–Roch に当たる「$\chi(\mathcal{M}|_D) - \chi(\mathcal{O}_D)$ は $\mathcal{M}$ について加法的」を、$D$ が特異でも被約でなくても成り立つ形で示しています。

命題 3.6（交点数は局所交点数の和）✓

$C, D$ を曲面 $X$ の共通成分をもたない有効因子とする。このとき

$$C.D = \sum_{P \in C \cap D} (C.D)_P$$

である。とくに $C.D \ge 0$ で、すべての交点で横断的に交わるなら $C.D$ は交点の個数である。

証明（命題 3.6）

定理 3.5 の (2) により $C.D = \chi(\mathcal{O}_X(D)|_C) - \chi(\mathcal{O}_C)$ です。$\mathcal{O}_X(D)$ は、零点の因子が $D$ である大域切断（定数 $1$ に対応する切断）をもつので、補題 3.3 を $\mathcal{L} = \mathcal{O}_X$、$\mathcal{M} = \mathcal{O}_X(D)$ に使うと右辺は $\sum_P (C.D)_P$ です。

∎

命題 3.7（非特異曲線との交点数）✓

$C$ を曲面 $X$ の上の非特異な既約曲線（素因子で、スキームとして非特異なもの）、$D$ を因子とする。このとき $C.D = \deg\big( \mathcal{O}_X(D)|_C \big)$ である。

証明（命題 3.7）

$C$ は前章の意味の曲線です。定理 3.5 の (2) により $C.D = \chi(\mathcal{O}_X(D)|_C) - \chi(\mathcal{O}_C)$ で、曲線上の可逆層 $\mathcal{N}$ について $\chi(\mathcal{N}) = \deg \mathcal{N} + 1 - g$（補題 6.3［曲線と Riemann–Roch の定理］）なので、右辺は $\deg(\mathcal{O}_X(D)|_C)$ です。

∎

仮定「共通成分をもたない」を落とすと 命題 3.6 は意味を失います。その場合でも $C.D$ は定義されており、負になることがあります（§7 の例外曲線は $E^2 = -1$）。

4. 曲面の Riemann–Roch と随伴公式

曲面 $X$ の標準層 $\omega_X = \wedge^2\Omega_{X/k}$ は可逆層で（定理 7.3［次元・正規性・非特異性と微分の層］）、$\mathcal{O}_X(K) \cong \omega_X$ となる因子 $K = K_X$ を標準因子といいます。

次の定理は、交点数の定義の右辺に現れる Euler 標数の差を、Serre 双対で $\chi(\mathcal{L}) = \chi(\mathcal{L}^{-1} \otimes \omega_X)$ と書き換えることで、$\chi(\mathcal{O}_X(D))$ を交点数で表すものです。

定理 4.1（曲面の Riemann–Roch）✓

曲面 $X$ の因子 $D$ について

$$\chi(\mathcal{O}_X(D)) = \frac{1}{2}D.(D - K) + \chi(\mathcal{O}_X)$$

が成り立つ。

証明（定理 4.1）

$\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)$ とします。交点数の定義を $\mathcal{L}^{-1}$ と $\mathcal{L} \otimes \omega_X^{-1}$ に使うと

$$(\mathcal{L}^{-1}.\mathcal{L} \otimes \omega_X^{-1}) = \chi(\mathcal{O}_X) - \chi(\mathcal{L}) - \chi(\mathcal{L}^{-1} \otimes \omega_X) + \chi(\omega_X)$$

です。$X$ は正則なので等次元 $2$ の Cohen–Macaulay 射影スキームで（系 6.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、双対化層は $\omega_X$ です（定理 7.3［Ext 層と Serre 双対］）。Serre 双対（定理 6.4［Ext 層と Serre 双対］）により、局所自由層 $\mathcal{E}$ について $\dim H^i(X, \mathcal{E}) = \dim H^{2-i}(X, \mathcal{E}^{\vee} \otimes \omega_X)$ で、$(-1)^i = (-1)^{2-i}$ なので $\chi(\mathcal{E}) = \chi(\mathcal{E}^{\vee} \otimes \omega_X)$ です。よって $\chi(\omega_X) = \chi(\mathcal{O}_X)$、$\chi(\mathcal{L}^{-1} \otimes \omega_X) = \chi(\mathcal{L})$ で、右辺は $2\chi(\mathcal{O}_X) - 2\chi(\mathcal{L})$ です。左辺は双線形性（定理 3.5）により $-D.(D - K)$ です。

∎

定理 4.2（随伴公式）✓

$C$ を曲面 $X$ の上の曲線（$0$ でない有効因子）とし、$p_a(C) = 1 - \chi(\mathcal{O}_C)$ を算術種数という。このとき

$$2p_a(C) - 2 = C.(C + K)$$

が成り立つ。$C$ が非特異な既約曲線なら $p_a(C)$ は $C$ の種数 $g$ で、$2g - 2 = C.(C + K)$ である。

証明（定理 4.2）

$\chi(\mathcal{O}_C) = \chi(\mathcal{O}_X) - \chi(\mathcal{O}_X(-C))$ です。定理 4.1 を $D = -C$ に使うと $\chi(\mathcal{O}_X(-C)) = \tfrac{1}{2}(-C).(-C - K) + \chi(\mathcal{O}_X) = \tfrac{1}{2}C.(C + K) + \chi(\mathcal{O}_X)$ なので、$\chi(\mathcal{O}_C) = -\tfrac{1}{2}C.(C + K)$、$2p_a(C) - 2 = -2\chi(\mathcal{O}_C) = C.(C + K)$ です。$C$ が非特異な既約曲線なら、$H^0(C, \mathcal{O}_C) = k$（定理 8.3［分離射・固有射と付値判定法］）と種数の定義から $\chi(\mathcal{O}_C) = 1 - g$ です。

∎

非特異な $C$ については、定理 9.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］ の同型 $\omega_C \cong (\omega_X \otimes \mathcal{O}_X(C))|_C$ の次数を 命題 3.7 で計算しても同じ式 $2g - 2 = (K + C).C$ が出ます。上の証明は $C$ が特異でも可約でも通ります。また、$p_a(C)$ は整数なので $C.(C + K)$ は常に偶数です。

例 4.3（$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ の交点形式と $(a, b)$ 型の曲線の種数）

$X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ は、Segre 埋め込み（補題 7.1）で $\mathbb{P}^3$ の 2 次曲面 $xw = yz$ と同型な曲面です。$\operatorname{Pic} X \cong \mathbb{Z}^2$ で、生成元は 2 つの射影のファイバー $F_1 = \{\mathrm{pt}\} \times \mathbb{P}^1$、$F_2 = \mathbb{P}^1 \times \{\mathrm{pt}\}$ の類です（例 3.8［因子と直線束］）。同じ射影の相異なるファイバーは交わらないので $F_1^2 = F_2^2 = 0$、$F_1$ と $F_2$ は 1 点で横断的に交わるので $F_1.F_2 = 1$ です（命題 3.6）。交点形式の行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ で、$(a, b)$ 型と $(a', b')$ 型の因子の交点数は $ab' + a'b$ です。

標準因子を随伴公式から求めます。$K = \alpha F_1 + \beta F_2$ とすると、$F_1 \cong \mathbb{P}^1$ について $-2 = F_1.(F_1 + K) = \beta$、同様に $\alpha = -2$ で、$K$ は $(-2, -2)$ 型です。$(a, b)$ 型の曲線 $C$（$a, b \ge 1$）では

$$2p_a(C) - 2 = (a, b).(a - 2, b - 2) = a(b - 2) + b(a - 2), \qquad p_a(C) = (a - 1)(b - 1)$$

です。$(1, b)$ 型の非特異曲線は種数 $0$、$(2, b)$ 型は種数 $b - 1$（超楕円）で、$(3, 3)$ 型は種数 $4$ です。前章で見た種数 $4$ の標準曲線「2 次曲面と 3 次曲面の交わり」は、2 次曲面が非特異ならこの $(3, 3)$ 型です。

例 4.4（3 次曲面の上の直線は自己交点数 $-1$）

$X \subseteq \mathbb{P}^3$ を非特異な 3 次曲面とすると、$\omega_X \cong \mathcal{O}_X(3 - 4) = \mathcal{O}_X(-1)$ です（定理 9.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］）。$X$ の上の直線 $L \cong \mathbb{P}^1$ について、$L.K = \deg \mathcal{O}_X(-1)|_L = -1$（命題 3.7）で、随伴公式から $-2 = L^2 + L.K = L^2 - 1$、すなわち $L^2 = -1$ です。命題 3.6 により、$L$ と線形同値な有効因子 $L'$ が $L$ を成分に含まなければ $L.L' \ge 0$ となって矛盾するので、$L' \ge L$ で、$L' - L$ は $0$ と線形同値な有効因子、すなわち $0$ です。自己交点数が負の既約曲線は、線形同値類の中で動けません。

5. Bézout の定理

定理 5.1（Bézout の定理）✓

$\mathbb{P}^2 = \mathbb{P}^2_k$ は曲面で、$\operatorname{Pic}\mathbb{P}^2$ は直線の類 $H$ で生成される無限巡回群、$H^2 = 1$ である。次数 $d$ の曲線 $C$ と次数 $e$ の曲線 $D$ について $C.D = de$ で、$C$ と $D$ が共通成分をもたなければ

$$\sum_{P \in C \cap D} (C.D)_P = de$$

である。とくに $\mathbb{P}^2$ の 2 つの曲線は必ず交わる。

証明（定理 5.1）

$\mathbb{P}^2$ は整な射影スキームで、$3$ 枚のアフィン平面 $\operatorname{Spec} k[u, v]$ で覆われるので非特異で $2$ 次元です（定理 6.3［アフィンスキームとスキーム］）。$\operatorname{Pic}\mathbb{P}^2 \cong \mathbb{Z}$ で、次数 $d$ の曲線は $dH$ と線形同値です（系 3.6［因子と直線束］）。直線 $L_1 = V(x_0)$ と $L_2 = V(x_1)$ は点 $P = (0 : 0 : 1)$ だけで交わり、局所方程式 $x_0/x_2$、$x_1/x_2$ は $\mathfrak{m}_P$ を生成するので $(L_1.L_2)_P = 1$ です。命題 3.6 により $H^2 = L_1.L_2 = 1$ で、双線形性（定理 3.5）から $C.D = de\,H^2 = de$ です。共通成分がなければ、命題 3.6 により左辺は局所交点数の和です。$de \ge 1$ なので $C \cap D$ は空ではありません。

∎

「重複度を込めて $de$ 点」の重複度が $(C.D)_P = \ell(\mathcal{O}_P/(f, g))$ です。射影平面でなくアフィン平面で考えると、平行な 2 直線のように無限遠での交点が失われ、等式は不等式になります。

6. Hodge 指数定理

定義 6.1（数値的同値）↗

曲面 $X$ の因子 $D$ が数値的に $0$ であるとは、すべての因子 $E$ について $D.E = 0$ であることをいい、$D \equiv 0$ と書く。数値的に $0$ である因子類のなす $\operatorname{Pic} X$ の部分群による商を $\operatorname{Num} X$ と書く。交点形式は $\operatorname{Num} X$ の上の非退化な対称双線形形式を定める。

$nD \equiv 0$（$n \ne 0$）なら $D \equiv 0$ なので、$\operatorname{Num} X$ は捩れのないアーベル群です。

次の補題は Hodge 指数定理の証明の準備で、(1) 豊富な因子は曲線と正に交わる、(3) $D^2 > 0$ で、$D$ が $\mathcal{N}$ と正に交わるなら（$\mathcal{N}$ は有効因子と非負に交わるもの）、その何倍かは有効因子と線形同値になる、という二つが要点です。(3) では、Riemann–Roch の右辺が $n^2$ に比例して大きくなることを使います。

補題 6.2（豊富な因子の正値性）✓

$X$ を曲面とする。

1. $H$ が豊富な因子、$C$ が曲面上の曲線（$0$ でない有効因子）なら $H.C > 0$ である。とくに $H^2 > 0$ である。
2. $\mathcal{N}$ が大域切断で生成される可逆層、$E$ が有効因子なら $(\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(E)) \ge 0$ である。
3. $D$ を因子、$\mathcal{N}$ を可逆層とし、$D^2 > 0$、$(\mathcal{O}_X(D).\mathcal{N}) > 0$、かつすべての有効因子 $E$ について $(\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(E)) \ge 0$ とする（(1)(2) により、$\mathcal{N}$ が豊富な因子の可逆層か、大域切断で生成されればよい）。このとき、$n$ が十分大きければ $l(nD) = \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(nD)) > 0$ で、$nD$ は $0$ でない有効因子と線形同値である。

証明（補題 6.2）

(1) ある $m > 0$ で $mH$ は非常に豊富です（定理 6.4［因子と直線束］）。閉はめ込み $i\colon X \to \mathbb{P}^N$ で $i^*\mathcal{O}(1) \cong \mathcal{O}_X(mH)$ となるものを取ります。$\mathcal{O}_X(mH)$ は 1 次式の制限で生成されるので、補題 3.4 の証明と同じ議論を 1 次式の空間に使って、零点の因子 $H' \sim mH$ が $C$ と共通成分をもたない 1 次式 $\ell$ が取れます。$H' \cap C = \emptyset$ とすると、$C$ の素因子 $C_1$（$1$ 次元の整な射影スキーム）はアフィンスキーム $X \cap D_+(\ell)$ の閉部分スキームになります。完備多様体からアフィン多様体への射は定値なので（定理 8.3［分離射・固有射と付値判定法］）$C_1$ は 1 点となり矛盾です。よって 命題 3.6 により $m(H.C) = H'.C = \sum_P (H'.C)_P \ge 1$ です。また $H' = 0$ とすると $X = X \cap D_+(\ell)$ がアフィンになり、同じ理由で $X$ が 1 点になって矛盾するので、$H'$ は曲面上の曲線です。今示したことを $C = H'$ に使って $mH^2 = H.H' > 0$ です。

(2) $E = 0$ なら $0$ です。補題 3.4 により、零点の因子 $N'$ が $E$ と共通成分をもたない切断があり、命題 3.6 から $(\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(E)) = N'.E \ge 0$ です。

(3) 定理 4.1 により

$$\chi(\mathcal{O}_X(nD)) = \frac{n^2}{2}D^2 - \frac{n}{2}D.K + \chi(\mathcal{O}_X)$$

で、$D^2 > 0$ なので $n \to \infty$ で正の無限大に発散します。$X$ は $2$ 次元なので $i > 2$ で $H^i = 0$ で（定理 6.5［層コホモロジー］）、$\chi \le \dim H^0 + \dim H^2$ です。Serre 双対（定理 6.4［Ext 層と Serre 双対］）により $\dim H^2(X, \mathcal{O}_X(nD)) = l(K - nD)$ です。$l(K - nD) > 0$ なら $K - nD$ は有効因子 $E$ と線形同値で、仮定から $(\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(K)) - n(\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(D)) = (\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(E)) \ge 0$、すなわち $n \le (\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(K))/(\mathcal{N}.\mathcal{O}_X(D))$ です。よって $n$ が大きければ $H^2 = 0$ で、$l(nD) \ge \chi(\mathcal{O}_X(nD)) > 0$ です。対応する有効因子 $E_n \sim nD$ は $E_n^2 = n^2D^2 > 0$ を満たすので $0$ ではありません。

∎

定理 6.3（Hodge 指数定理）✓

$X$ を曲面、$H$ を豊富な因子とする。

1. 因子 $D$ が $D.H = 0$ を満たすなら $D^2 \le 0$ である。
2. $D.H = 0$ かつ $D^2 = 0$ なら $D \equiv 0$ である。
3. $N$ を $H$ の類を含む $\operatorname{Num} X$ の有限生成部分群、$\rho$ をその階数とすると、$N \otimes \mathbb{R}$ の上の交点形式は非退化で、符号は正が $1$、負が $\rho - 1$ である。

証明（定理 6.3）

(1) $D.H = 0$ かつ $D^2 > 0$ として矛盾を導きます。$H$ を正の倍数に取り替えても仮定は変わらないので、$H$ は非常に豊富としてよく、$\mathcal{O}_X(1) = \mathcal{O}_X(H)$ とします。$n$ が大きいとき $\mathcal{N} = \mathcal{O}_X(D + nH)$ は大域切断で生成されます（定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］）。$(\mathcal{O}_X(D).\mathcal{N}) = D^2 + n\,D.H = D^2 > 0$ で、補題 6.2 の (2) により $\mathcal{N}$ は有効因子との交点数が $0$ 以上です。同じ補題の (3) により、ある $n' > 0$ で $n'D$ は $0$ でない有効因子 $E$ と線形同値です。補題 6.2 の (1) により $H.E > 0$ ですが、$H.E = n'\,H.D = 0$ で矛盾です。

(2) $D.H = 0$、$D^2 = 0$ で $D \not\equiv 0$ とすると、$D.E \ne 0$ となる因子 $E$ があります。$E' = (H^2)E - (E.H)H$ とおくと $E'.H = 0$ で、$D.E' = (H^2)(D.E) \ne 0$ です（$H^2 > 0$ は 補題 6.2 の (1)）。整数 $n$ について $D' = nD + E'$ は $D'.H = 0$ を満たし、

$$D'^2 = n^2D^2 + 2n\,D.E' + E'^2 = 2n\,D.E' + E'^2$$

です。$D.E' \ne 0$ なので、$n$ を適切に取れば $D'^2 > 0$ となり、(1) に反します。

(3) $N$ は捩れのない有限生成アーベル群なので階数 $\rho$ の自由アーベル群です。$N_{\mathbb{Q}} = N \otimes \mathbb{Q}$ は、$H^2 > 0$ なので $\mathbb{Q}H$ とその直交補空間 $H^{\perp}$ の直和です。$H^{\perp}$ の元の整数倍は $N$ の元 $D$（$D.H = 0$）なので、(1)(2) により $D^2 \le 0$ で、等号は $D$ が $\operatorname{Num} X$ の中で $0$ のときに限ります。つまり $H^{\perp}$ の上で形式は $\mathbb{Q}$ 上負定値です。$\mathbb{R}$ に係数を延ばすと、連続性から $H^{\perp} \otimes \mathbb{R}$ の上で半負定値です。半負定値な形式で $v^2 = 0$ となる $v$ は形式の核（Gram 行列の核）に入り、Gram 行列は有理数成分なので、核が $0$ でなければ有理数成分の $0$ でないベクトルを含みます。これは $\mathbb{Q}$ 上の負定値性に反するので、$H^{\perp} \otimes \mathbb{R}$ の上で負定値です。$H$ の方向で正なので、符号は $(1, \rho - 1)$ で、非退化です。

∎

注意 6.4（$\operatorname{Num} X$ の有限性と Noether の公式）

$\operatorname{Num} X$ 自身が有限生成である（Néron–Severi の定理の帰結）ことはこの記事の範囲では証明しないので、(3) は有限生成部分群について述べました。$\operatorname{Num} X$ の階数 $\rho$ を Picard 数といい、(3) は $\operatorname{Num} X \otimes \mathbb{R}$ 全体で成り立ちます。複素数体上では、$\operatorname{Num} X \otimes \mathbb{R}$ は $H^{1,1}$ の実部分空間に入り、(3) は Hodge–Riemann の双線形関係式から従う $H^{1,1}$ 上の交点形式の符号の主張に対応します。また、曲面の不変量の間には Noether の公式 $12\chi(\mathcal{O}_X) = K^2 + e(X)$（$e$ は位相的 Euler 数、一般には第 2 Chern 類の次数）があります。証明には Chern 類と Hirzebruch–Riemann–Roch の定理が必要で、この記事では使いません（Hartshorne『Algebraic Geometry』付録 A、Beauville『Complex Algebraic Surfaces』第 I 章）。

交点形式の符号 (1, 1)（ρ = 2 の場合）。縦軸が H の方向（D² > 0）、横軸が H の直交補空間（D² < 0）で、破線の上で D² = 0

仮定「$H$ は豊富」は外せません。$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$（例 4.3 の記号）で $H = F_1 - F_2$ とすると、$D = F_1 + F_2$ は $D.H = 0$ を満たしますが $D^2 = 2 > 0$ で、(1) が成り立ちません。$H = F_1$ とすると、$D = F_1$ は $D.H = 0$、$D^2 = 0$ ですが $D.F_2 = 1$ なので $D \not\equiv 0$ で、(2) が成り立ちません。豊富な $H = F_1 + F_2$ については、$H^{\perp}$ は $F_1 - F_2$ で張られ、$(F_1 - F_2)^2 = -2 < 0$ で、符号は $(1, 1)$ です。

7. 1 点の爆発

補題 7.1（Segre 埋め込み）✓

$\mathbb{P}^n_k \times_k \mathbb{P}^m_k$ の座標を $(x_i)$, $(y_j)$、$\mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}_k$ の座標を $(z_{ij})$ とする。$z_{ij} \mapsto x_iy_j$ で定まる射 $\sigma\colon \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}$ は閉はめ込みである。したがって、$k$ 上の射影スキーム 2 つの積は射影的である。

証明（補題 7.1）

アフィン開集合 $D_+(x_i) \times D_+(y_j) = \operatorname{Spec} k[x_a/x_i,\ y_b/y_j]$ から $D_+(z_{ij}) = \operatorname{Spec} k[z_{ab}/z_{ij}]$ への射を $z_{ab}/z_{ij} \mapsto (x_a/x_i)(y_b/y_j)$ で定めます。共通部分の上で、$D_+(x_i) \times D_+(y_j)$ と $D_+(x_{i'}) \times D_+(y_{j'})$ から定めた射は、$z_{ab}/z_{ij} = (z_{ab}/z_{i'j'})(z_{i'j'}/z_{ij})$ と対応する等式 $(x_ay_b)/(x_iy_j) = \big((x_ay_b)/(x_{i'}y_{j'})\big)\big((x_{i'}y_{j'})/(x_iy_j)\big)$ により一致するので、貼り合わさって $\sigma$ になります（定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］）。$D_+(x_a) \times D_+(y_b)$ の点が $D_+(z_{ij})$ に写るのは、$(x_i/x_a)(y_j/y_b)$ がその点で消えないとき、すなわち点が $D_+(x_i) \times D_+(y_j)$ に入るときなので、$\sigma^{-1}(D_+(z_{ij})) = D_+(x_i) \times D_+(y_j)$ です。環の準同型 $k[z_{ab}/z_{ij}] \to k[x_a/x_i,\ y_b/y_j]$ は、$z_{aj}/z_{ij} \mapsto x_a/x_i$、$z_{ib}/z_{ij} \mapsto y_b/y_j$ なので全射です。$D_+(z_{ij})$ の全体は行き先を覆い、各々の上で $\sigma$ は閉はめ込みなので、$\sigma$ は閉はめ込みです。閉はめ込みの積と合成は閉はめ込みなので（命題 6.1［スキームの性質と射］）、後半が従います。

∎

爆発の局所的な形を先に調べます。平面の原点を通る直線は傾きごとに分かれていて、爆発は、原点を「傾きの全体」である $\mathbb{P}^1$ に置き換えて、その分かれ方を見えるようにする操作です。次の補題は、これを座標で書き下したものです。

左右の図を見比べてください。原点を通る直線の傾き $c$ を動かすと、爆発の後の座標近傍（$t = y/x$）では、直線は水平線 $t = c$ になって $E$ の別々の点 $(0, c)$ を通ります。結節点をもつ曲線の 2 本の枝は、$c = \pm 1$ で $E$ と交わる 2 点に分かれます。

傾き c の直線を動かしたときの爆発。原点を通る直線は、爆発の後の座標近傍で E の点 t = c を通る別々の水平線になり、曲線 y² = x²(x + 1) の 2 つの枝は t = ±1 で E と交わる

補題 7.2（爆発の座標近傍）✓

$A$ を $k$ 上有限生成の整域、$\mathfrak{m}$ を極大イデアルで $A_{\mathfrak{m}}$ が $2$ 次元の正則局所環であるもの、$x, y \in A$ を $\mathfrak{m} = (x, y)A$ を満たす元とする。$U = \operatorname{Spec} A$、$P$ を $\mathfrak{m}$ に対応する点とし、$\mathbb{P}^1_A$（座標 $T_0, T_1$）の閉部分スキーム $\tilde{U} = V(xT_1 - yT_0)$ と射影 $\pi\colon \tilde{U} \to U$ を考える。

1. $\tilde{U}$ は 2 つのアフィン開集合 $U_1 = \operatorname{Spec} A_1$、$A_1 = A[t]/(xt - y)$（$t = T_1/T_0$）と $U_2 = \operatorname{Spec} A_2$、$A_2 = A[s]/(x - ys)$（$s = T_0/T_1$）で覆われる。$A_1$ は $\operatorname{Frac} A$ の部分環 $A[y/x]$ と、$A_2$ は $A[x/y]$ と同型である。$\tilde{U}$ は整で、$\pi$ は $U \setminus \{P\}$ の上で同型である。
2. $E = \pi^{-1}(P)$ は $\mathbb{P}^1_k$ と同型で、$U_1$ の上では $x$、$U_2$ の上では $y$ で定義される有効 Cartier 因子である。$A_1/xA_1 = k[t]$、$A_2/yA_2 = k[s]$ である。
3. $E$ の各閉点 $Q$ で $\mathcal{O}_{\tilde{U},Q}$ は $2$ 次元の正則局所環である。$Q \in U_1$ が $t = c$ に対応するとき、極大イデアルは $(x, t - c)$ で生成される。

証明（補題 7.2）

(1) $D_+(T_0)$ と $D_+(T_1)$ の上で方程式を書けば $A_1, A_2$ を得ます。$y$ 倍が $A/xA$ の上で単射であることを示します。単射性は極大イデアルでの局所化で確かめられます（定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］）。極大イデアル $\mathfrak{n}$ が $x$ を含まなければ $(A/xA)_{\mathfrak{n}} = 0$ です。$x \in \mathfrak{n}$、$y \notin \mathfrak{n}$ なら $y$ は単元です。$x, y \in \mathfrak{n}$ なら $\mathfrak{n} = \mathfrak{m}$ で、$x, y$ は正則局所環 $A_{\mathfrak{m}}$ の極大イデアルを生成する、共通の素因数をもたない元なので（共通の素因数 $\pi$ があれば $\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}} \subseteq (\pi)$ となり高さが $2$ であることに反します）、補題 2.1 により単射です。

$A[t] \to A[y/x]$、$t \mapsto y/x$ の核が $(xt - y)$ であることを示します。$F(t) = \sum_{i \le d} a_it^i$ が $F(y/x) = 0$ を満たすとし、$d$ についての帰納法を使います。$d = 0$ なら $F = a_0 = 0$ です。$d \ge 1$ なら、$x^dF(y/x) = a_dy^d + x(\cdots) = 0$ から $a_dy^d \in xA$ で、$y$ 倍が $A/xA$ の上で単射なので $a_d = xb$ と書けます。$F - bt^{d-1}(xt - y)$ は次数が $d$ 未満で、やはり $y/x$ を根にもつので、帰納法の仮定から $(xt - y)$ に入ります。$A_2$ も同様です。$A_1, A_2$ は整域で、$U_1 \cap U_2$ は空でないので $\tilde{U}$ は整です。$x$ が可逆な開集合 $D(x) \subseteq U$ の上では、$U_2$ の点も $x = ys$ から $s$ が可逆なので $U_1$ に入り、$\pi^{-1}(D(x)) = \operatorname{Spec} (A_1)_x = \operatorname{Spec} A_x[t]/(t - y/x) = D(x)$ です。$D(y)$ も同様で、$D(x) \cup D(y) = U \setminus \{P\}$ です。

(2) $\mathbb{P}^1_A$ の中で $V(x, y) = \mathbb{P}^1_{A/\mathfrak{m}} = \mathbb{P}^1_k$ で、その上で $xT_1 - yT_0$ は消えるので $E = \mathbb{P}^1_k$ です。$A_1$ の中で $y = xt$ なので $(x, y)A_1 = xA_1$ で、$A_1/xA_1 = A[t]/(x, y) = k[t]$ です。$x$ は整域 $A_1$ の $0$ でない元です。$U_2$ も同様です。

(3) $Q \in E \cap U_1$ を $t = c$ の点とすると、(2) により $Q$ の極大イデアルは $(x, t - c)$ です。$A_1$ は $k$ 上有限生成の整域で商体は $\operatorname{Frac} A$（超越次数 $2$）なので、$\dim \mathcal{O}_{\tilde{U},Q} = 2$ です（定理 2.4［次元・正規性・非特異性と微分の層］）。極大イデアルが $2$ 個の元で生成されるので正則です（定義 6.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。$U_2$ の点も同様です。

∎

定理 7.3（1 点の爆発）✓

$X$ を曲面、$P$ を点とする。曲面 $\tilde{X}$ と射 $\pi\colon \tilde{X} \to X$ で、次を満たすものがある。$E = \pi^{-1}(P)$ とおく。

1. $\pi$ は同型 $\tilde{X} \setminus E \to X \setminus \{P\}$ を引き起こす。$E$ は $\mathbb{P}^1$ と同型な素因子（例外曲線）で、$P$ の適当なアフィン開近傍 $U$ の上で $\pi^{-1}(U) \to U$ は 補題 7.2 の $\tilde{U} \to U$ と同型である。
2. $C$ を $X$ の有効因子、$m$ を $C$ の $P$ での重複度（局所方程式 $f$ が $\mathfrak{m}_P^m$ に入る最大の $m \ge 0$）とすると、$\pi^*C = \tilde{C} + mE$ と書ける。ここで $\tilde{C}$（固有変換）は $E$ を成分に含まない有効因子で、$\tilde{C}.E = m$ である。
3. $X$ の因子 $C, D$ について $\pi^*C.\pi^*D = C.D$、$\pi^*C.E = 0$ で、$E^2 = -1$ である。
4. $(\mathcal{L}, n) \mapsto \pi^*\mathcal{L} \otimes \mathcal{O}_{\tilde{X}}(nE)$ は同型 $\operatorname{Pic} X \oplus \mathbb{Z} \to \operatorname{Pic}\tilde{X}$ である。
5. $K_{\tilde{X}} \sim \pi^*K_X + E$ である。

ここで $\pi^*C$ は、$C$ の局所方程式を $\pi$ で引き戻して得られる有効因子で、$\mathcal{O}_{\tilde{X}}(\pi^*C) \cong \pi^*\mathcal{O}_X(C)$ です。一般の因子には線形に延ばします。

証明（定理 7.3）

構成。 閉はめ込み $X \subseteq \mathbb{P}^N$ を取り、座標を 1 次変換して $P = (1 : 0 : \cdots : 0)$ とします。$x_i/x_0$（$1 \le i \le N$）は $\mathbb{P}^N$ の $P$ での極大イデアルを生成し、$X$ は閉部分スキームなので、その像は $\mathfrak{m}_P \subseteq \mathcal{O}_{X,P}$ を生成します。$\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$ は $2$ 次元なので、$x_1, \ldots, x_N$ をさらに 1 次変換して、$x = x_1/x_0$ と $y = x_2/x_0$ の類が $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$ の基底になるようにでき、中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］）により $\mathfrak{m}_P = (x, y)\mathcal{O}_{X,P}$ です。$P$ のアフィン開近傍 $U = \operatorname{Spec} A \subseteq X \cap D_+(x_0)$ を十分小さく取って、$P$ の極大イデアル $\mathfrak{m} \subseteq A$ が $(x, y)A$ に等しく、$x_i/x_0 = a_ix + b_iy$（$a_i, b_i \in A$、$a_1 = b_2 = 1$、$b_1 = a_2 = 0$）と書けるようにします（必要な等式は有限個で、どれも $\mathcal{O}_{X,P}$ の中で成り立つので、$A$ の $\mathfrak{m}$ に入らない元を 1 つ可逆にすれば成り立ちます）。

切断 $x_1, \ldots, x_N$ は $X \setminus \{P\}$ の上で $\mathcal{O}_X(1)$ を生成するので、射 $q_0\colon X \setminus \{P\} \to \mathbb{P}^{N-1}$ を定めます（定理 5.1［因子と直線束］）。そのグラフ $\Gamma \subseteq (X \setminus \{P\}) \times \mathbb{P}^{N-1}$ は閉集合で（命題 8.2［分離射・固有射と付値判定法］）、$X \setminus \{P\}$ と同型です。$\tilde{X}$ を、$\Gamma$ の $X \times \mathbb{P}^{N-1}$ における閉包に被約な構造（定理 4.3［スキームの性質と射］）を入れたものとし、$\pi$ を第 1 射影の制限とします。$X \times \mathbb{P}^{N-1}$ は射影的（補題 7.1）なので $\tilde{X}$ も射影的で、既約な $\Gamma$ の閉包なので整です。$\pi^{-1}(X \setminus \{P\})$ は $\Gamma$ の $(X \setminus \{P\}) \times \mathbb{P}^{N-1}$ における閉包、すなわち $\Gamma$ 自身で、$\pi$ はその上で同型です。

$P$ の上の構造。 補題 7.2 の $\tilde{U} \subseteq \mathbb{P}^1_A$ を取ります。1 次式 $\ell_i = a_iT_0 + b_iT_1$（$\ell_1 = T_0$、$\ell_2 = T_1$）により射 $j\colon \mathbb{P}^1_A \to \mathbb{P}^{N-1}_A = U \times \mathbb{P}^{N-1}$、$(T_0 : T_1) \mapsto (\ell_1 : \cdots : \ell_N)$ を定めます。$j$ は閉はめ込みです。実際、$\mathbb{P}^{N-1}_A$ の座標を $z_1, \ldots, z_N$ とすると $j^{-1}(D_+(z_i)) = D_+(\ell_i)$ はアフィンで、環の準同型 $A[z_1/z_i, \ldots, z_N/z_i] \to A[T_0/\ell_i,\ T_1/\ell_i]$ は $z_1/z_i \mapsto T_0/\ell_i$、$z_2/z_i \mapsto T_1/\ell_i$ なので全射です（定理 6.3［アフィンスキームとスキーム］）。よって $j(\tilde{U})$ は $U \times \mathbb{P}^{N-1}$ の整な閉部分スキームです。$U_1$ の上で $x\ell_i = a_ix + b_ixt = a_ix + b_iy = x_i/x_0$、$U_2$ の上で $y\ell_i = a_iys + b_iy = x_i/x_0$ なので、$x$ か $y$ が可逆な開集合 $\tilde{U} \setminus E$ の上で $(\ell_1 : \cdots : \ell_N) = (x_1 : \cdots : x_N)$ で、$j$ は $\tilde{U} \setminus E \cong U \setminus \{P\}$ を $\Gamma \cap \pi^{-1}(U)$ の上に写します。$\tilde{U} \setminus E$ は $\tilde{U}$ で稠密なので、$j(\tilde{U})$ は $\Gamma \cap \pi^{-1}(U)$ の $U \times \mathbb{P}^{N-1}$ における閉包、すなわち $\tilde{X} \cap \pi^{-1}(U)$ と集合として一致し、どちらも被約なので閉部分スキームとして一致します。こうして $U$ 上の同型 $\pi^{-1}(U) \cong \tilde{U}$ が得られました。

$\tilde{X}$ は $\Gamma \cong X \setminus \{P\}$ と $\pi^{-1}(U) \cong \tilde{U}$ で覆われます。前者は非特異で、後者は 補題 7.2 の (3) により $E$ の点で正則、それ以外の点は前者に入ります。関数体は $K(X)$ なので次元は $2$ です。よって $\tilde{X}$ は曲面で、(1) が示せました。

(2) $f \ne 0$ なので、Krull の交叉定理（定理 5.1［完備化と Artin–Rees の補題］）により $m$ は有限です。$U$ をさらに小さく取って、$C \cap U = V(f)$、$f = \sum_{i+j=m} c_{ij}x^iy^j$（$c_{ij} \in A$）とします。$U_1$ の上で $y = xt$ なので

$$\pi^{\#}f = x^m f_1, \qquad f_1 = \sum_{i+j=m} c_{ij}t^j \in A_1$$

で、$f_1$ の $A_1/xA_1 = k[t]$ での像は $\bar{f}_1 = \sum c_{ij}(P)t^j$ です。$c_{ij}(P)$ がすべて $0$ なら $c_{ij} \in \mathfrak{m}$ で $f \in \mathfrak{m}^{m+1}$ となり $m$ の取り方に反するので、$\bar{f}(T_0, T_1) = \sum c_{ij}(P)T_0^iT_1^j$ は $0$ でない $m$ 次の 2 元斉次式です。$U_2$ の上でも同様に $\pi^{\#}f = y^mf_2$、$\bar{f}_2 = \sum c_{ij}(P)s^i$ です。$x$（$U_1$ の上）と $y$（$U_2$ の上）は $E$ の局所方程式なので、$\tilde{C} = \pi^*C - mE$ は、$\pi^{-1}(U)$ の上で $f_1, f_2$ を局所方程式とする有効因子です。$\bar{f}_1(t) = \bar{f}(1, t)$ は $0$ でない多項式なので、$f_1$ は $E$ の局所方程式 $x$ で割り切れず、$\tilde{C}$ は $E$ を成分に含みません。命題 3.6 により $\tilde{C}.E = \sum_Q (\tilde{C}.E)_Q$ で、$t = c$ の点 $Q$ では

$$(\tilde{C}.E)_Q = \ell\big( \mathcal{O}_{\tilde{X},Q}/(f_1, x) \big) = \ell\big( k[t]_{(t - c)}/(\bar{f}_1) \big)$$

は $\bar{f}_1$ の根 $c$ の重複度、残る 1 点（$s = 0$）では $\bar{f}_2$ の根 $0$ の重複度です。合計は、2 元 $m$ 次斉次式 $\bar{f}$ の $\mathbb{P}^1$ の上の根の重複度の和で、$k$ は代数閉体なので $m$ です。

(3) $X$ の非常に豊富な可逆層 $\mathcal{O}_X(1)$ を固定します。任意の可逆層 $\mathcal{L}$ は、大域切断で生成される $\mathcal{L}(n)$ と $\mathcal{O}_X(n)$ の商で、補題 3.4 により、どちらも $P$ で消えない切断をもちます。よって双線形性から、$C$ が $P$ を通らない有効因子の場合に $\pi^*C.\pi^*\mathcal{M} = C.\mathcal{M}$（$\mathcal{M}$ は任意の可逆層）と $\pi^*C.E = 0$ を示せば十分です。このとき $\pi^*C$ は $\tilde{X} \setminus E$ に含まれ、$\pi$ は $\pi^*C$ から $C$ へのスキームの同型を与え、$(\pi^*\mathcal{M})|_{\pi^*C}$ は $\mathcal{M}|_C$ に対応します。定理 3.5 の (2) により

$$(\mathcal{O}_{\tilde{X}}(\pi^*C).\pi^*\mathcal{M}) = \chi(\pi^*\mathcal{M}|_{\pi^*C}) - \chi(\mathcal{O}_{\pi^*C}) = \chi(\mathcal{M}|_C) - \chi(\mathcal{O}_C) = (\mathcal{O}_X(C).\mathcal{M})$$

です。また $\pi^*C \cap E = \emptyset$ なので、命題 3.6 により $\pi^*C.E = 0$ です。

$E^2$ を求めます。$x_1$ の $X$ への制限は $\mathcal{O}_X(1)$ の $0$ でない切断（$x = x_1/x_0 \ne 0$）で $P$ で消えるので、その零点の因子 $C_0$ は $P$ での重複度 $m_0 \ge 1$ の有効因子です。(2) と上の結果から $0 = \pi^*C_0.E = \tilde{C}_0.E + m_0E^2 = m_0 + m_0E^2$ で、$E^2 = -1$ です。

(4) 余次元 $2$ の閉集合を除いても因子類群は変わらず、素因子 $E$ を除くと $\mathbb{Z} \to \operatorname{Pic}\tilde{X} \to \operatorname{Pic}(\tilde{X} \setminus E) \to 0$（$1 \mapsto \mathcal{O}(E)$）は完全です（定理 3.4［因子と直線束］）。$\tilde{X}$ の可逆層 $\mathcal{N}$ に対し、$\mathcal{N}|_{\tilde{X} \setminus E}$ を $X \setminus \{P\}$ の可逆層とみなし、それを制限にもつ $X$ の可逆層 $\mathcal{L}$ を取ります。$\mathcal{N} \otimes \pi^*\mathcal{L}^{-1}$ は $\tilde{X} \setminus E$ の上で自明なので $\mathcal{O}(nE)$ と同型で、写像は全射です。$\pi^*\mathcal{L} \otimes \mathcal{O}(nE) \cong \mathcal{O}_{\tilde{X}}$ なら、$E$ との交点数を取って (3) から $-n = 0$、したがって $\pi^*\mathcal{L}$ は自明で、$\mathcal{L}|_{X \setminus \{P\}}$ も自明、よって $\mathcal{L}$ は自明です。写像は単射です。

(5) $\pi$ は $\tilde{X} \setminus E$ の上で同型なので、$\omega_{\tilde{X}}$ と $\pi^*\omega_X$ はそこで同型で、(4) の証明から $\omega_{\tilde{X}} \cong \pi^*\omega_X \otimes \mathcal{O}(nE)$ です。$E \cong \mathbb{P}^1$ の種数は $0$ なので、随伴公式（定理 4.2）と (3) から

$$-2 = E.(E + K_{\tilde{X}}) = E^2 + \pi^*K_X.E + nE^2 = -1 - n$$

で、$n = 1$ です。

∎

1 点 P の爆発。P を通る各方向が例外曲線 E の 1 点に対応し、結節点をもつ曲線 C の固有変換は E と 2 点で横断的に交わる非特異な曲線になる

系 7.4（爆発と算術種数）✓

定理 7.3 の状況で、$C$ を $X$ の上の曲線、$m$ を $P$ での重複度とする。

1. $p_a(\tilde{C}) = p_a(C) - \dfrac{m(m - 1)}{2}$ である。
2. $C$ を $\mathbb{P}^2$ の次数 $d$ の既約な被約曲線とし、特異点 $P_1, \ldots, P_r$ がすべて通常特異点（重複度 $m_i$ で、定理 7.3 の証明の 2 元斉次式 $\bar{f}$ が相異なる $m_i$ 個の根をもつ点）であるとする。このとき、$P_1, \ldots, P_r$ を順に爆発して得られる固有変換は非特異な既約曲線で、その種数は

$$g = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{i=1}^{r}\frac{m_i(m_i - 1)}{2}$$

である。

証明（系 7.4）

(1) $\tilde{C} = \pi^*C - mE$、$K_{\tilde{X}} = \pi^*K_X + E$ なので、随伴公式と 定理 7.3 の (3) から

$$2p_a(\tilde{C}) - 2 = (\pi^*C - mE).(\pi^*(C + K_X) - (m - 1)E) = C.(C + K_X) + m(m - 1)E^2 = 2p_a(C) - 2 - m(m - 1)$$

です。

(2) $\mathbb{P}^2$ では $K = -3H$（定理 8.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］）なので、随伴公式と 定理 5.1 から $2p_a(C) - 2 = d(d - 3)$、$p_a(C) = (d-1)(d-2)/2$ です。$P_1$ を爆発します。$\tilde{C}$ は $\tilde{X} \setminus E \cong X \setminus \{P_1\}$ の上で $C$ と一致し $E$ を成分に含まないので、$C \setminus \{P_1\}$ の閉包に当たる素因子が係数 $1$ で現れるだけで、既約かつ被約です。$\bar{f}$ の根が相異なるので、$\tilde{C}$ は $E$ と $m_1$ 個の点 $Q$ で交わり、各点で $(\tilde{C}.E)_Q = 1$ です。このとき $\tilde{C}$ の局所方程式 $f_1$ と $E$ の局所方程式が $\mathfrak{m}_Q$ を生成するので、$f_1 \notin \mathfrak{m}_Q^2$ で、$\mathcal{O}_{\tilde{C},Q} = \mathcal{O}_{\tilde{X},Q}/(f_1)$ は正則です（命題 6.4［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。$E$ の外では $\tilde{C}$ は $C \setminus \{P_1\}$ と同型なので、$\tilde{C}$ の特異点は $P_2, \ldots, P_r$ に対応する点だけで、その近傍は変わっていません。これを繰り返すと、$r$ 回の爆発の後の固有変換 $C_r$ は非特異な既約曲線で、(1) を $r$ 回使って $p_a(C_r) = p_a(C) - \sum_i m_i(m_i - 1)/2$ です。非特異な既約曲線では算術種数は種数に等しい（定理 4.2）ので主張を得ます。

∎

例 7.5（結節 3 次曲線と尖点 3 次曲線の解消）

結節 3 次曲線 $y^2 = x^2(x + 1)$（標数は $2$ でない）の原点は重複度 $2$ で、$\bar{f} = T_1^2 - T_0^2$ は相異なる 2 根をもつ通常二重点です。$U_1$ の上で $y = xt$ とすると $x^2t^2 = x^2(x + 1)$、固有変換は $t^2 = x + 1$ で、$E$（$x = 0$）と $t = \pm 1$ の 2 点で横断的に交わります。種数は $(3-1)(3-2)/2 - 1 = 0$ で、固有変換は $\mathbb{P}^1$ です。

尖点 3 次曲線 $y^2 = x^3$ の原点も重複度 $2$ ですが、$\bar{f} = T_1^2$ は重根をもち、通常特異点ではありません。固有変換は $t^2 = x$ で、$E$ と 1 点 $t = 0$ で局所交点数 $2$ で接します。それでも固有変換 $t^2 = x$ は非特異で、系 7.4 の (1) から算術種数は $1 - 1 = 0$ です。通常特異点でない場合は、一般には固有変換に特異点が残り、爆発を繰り返す必要があります。

例 7.6（射影平面の 1 点爆発と直線の束）

$\tilde{X}$ を $\mathbb{P}^2$ の 1 点 $P$ での爆発とすると、$\operatorname{Pic}\tilde{X} = \mathbb{Z}\pi^*H \oplus \mathbb{Z}E$ で、交点形式は $(\pi^*H)^2 = 1$、$\pi^*H.E = 0$、$E^2 = -1$、標準因子は $-3\pi^*H + E$ です。$P$ を通る直線 $L$ の固有変換は $\tilde{L} = \pi^*H - E$ で、$\tilde{L}^2 = 1 - 1 = 0$ です。$P$ を通る相異なる 2 直線の固有変換は交わりません（$E$ の上の異なる点を通る）。構成に現れた射 $q\colon \tilde{X} \to \mathbb{P}^1$（$N = 2$ の場合の第 2 射影）のファイバーがこれらの固有変換で、$\tilde{X}$ は $\mathbb{P}^1$ の上の線織面です。$E$ は $q$ の切断で、自己交点数 $-1$ の曲線として線形同値類の中で動きません。

8. 演習

演習 8.1易

$\mathbb{A}^2$ の原点 $P$ で、次の局所交点数を求めよ。(a) $y = x^2$ と $y = 0$。(b) $y^2 = x^3$ と $x = 0$。(c) $y^2 = x^3$ と $y = 0$。

解答

$\mathcal{O} = k[x, y]_{(x, y)}$ とします。(a) $\mathcal{O}/(y - x^2, y) = \mathcal{O}/(x^2, y) \cong k[x]/(x^2)$ で長さ $2$（接している）。(b) $\mathcal{O}/(y^2 - x^3, x) = \mathcal{O}/(y^2, x) \cong k[y]/(y^2)$ で長さ $2$。(c) $\mathcal{O}/(y^2 - x^3, y) = \mathcal{O}/(x^3, y) \cong k[x]/(x^3)$ で長さ $3$。尖点では、どの直線との交点数も重複度 $2$ 以上で、尖点の接線 $y = 0$ とだけ $3$ になります。

演習 8.2標準

$X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ の上の $(a, b)$ 型の非特異な既約曲線 $C$（$a, b \ge 1$）について、(a) 第 1 射影 $C \to \mathbb{P}^1$ の次数を交点数で表し、(b) $a = 2$ のとき Riemann–Hurwitz の公式（標数は $2$ でないとする）から分岐点の個数を求めて、例 4.3 の種数と整合することを確かめよ。

解答

例 4.3 の記号で、$C \sim aF_1 + bF_2$ とします（$F_1 = \{\mathrm{pt}\} \times \mathbb{P}^1$）。(a) 第 1 射影 $p_1$ の点のファイバーは $F_1$ で、$p_1|_C$ による点の引き戻しの次数は $\deg \mathcal{O}_X(F_1)|_C = C.F_1 = b$（命題 3.7）なので、次数は $b$ です。同様に第 2 射影の次数は $a$ です。(b) $a = 2$ のとき第 2 射影 $C \to \mathbb{P}^1$ は次数 $2$ で、種数は $(2 - 1)(b - 1) = b - 1$ です。Riemann–Hurwitz から $2(b - 1) - 2 = 2 \cdot (-2) + \deg R$、$\deg R = 2b$ で、分岐点は $2b = 2g + 2$ 個です。これは種数 $g = b - 1$ の超楕円曲線の分岐点の個数と一致します。

演習 8.3標準

曲面 $X$ の点 $P$ での爆発 $\pi\colon \tilde{X} \to X$ と、$P$ での重複度が $m, m'$ の有効因子 $C, D$ について、$\tilde{C}.\tilde{D} = C.D - mm'$ を示せ。$C$ と $D$ が $P$ で横断的に交わる非特異曲線のとき、固有変換が $E$ の上で交わらないことを確かめよ。

解答

$\tilde{C} = \pi^*C - mE$、$\tilde{D} = \pi^*D - m'E$ と 定理 7.3 の (3) から

$$\tilde{C}.\tilde{D} = \pi^*C.\pi^*D - m'\,\pi^*C.E - m\,\pi^*D.E + mm'E^2 = C.D - mm'$$

です。$m = m' = 1$ で $(C.D)_P = 1$ なら、$P$ の近くでの寄与は $1 - 1 = 0$ になります。実際、局所方程式を $x, y$ に取れば $\pi^{\#}x = x \cdot 1$、$\pi^{\#}y = x \cdot t$（$U_1$ の上）で、$\tilde{C}$ は $U_1$ に現れず（$U_2$ の $s = 0$）、$\tilde{D}$ は $t = 0$ で、$E$ の上の異なる点を通ります。

演習 8.4標準

$H$ を曲面 $X$ の豊富な因子、$D$ を任意の因子とする。$(D.H)^2 \ge D^2 H^2$ を示し、等号が成り立つのは $(H^2)D - (D.H)H \equiv 0$ のときに限ることを示せ。

解答

$D' = (H^2)D - (D.H)H$ とおくと $D'.H = (H^2)(D.H) - (D.H)(H^2) = 0$ です。定理 6.3 の (1) により

$$0 \ge D'^2 = (H^2)^2D^2 - 2(H^2)(D.H)^2 + (D.H)^2H^2 = (H^2)\big( (H^2)D^2 - (D.H)^2 \big)$$

で、$H^2 > 0$ なので $(D.H)^2 \ge D^2H^2$ です。等号は $D'^2 = 0$ と同値で、同じ定理の (2) により $D' \equiv 0$ と同値です。これは Cauchy–Schwarz の不等式の向きが逆になったもので、符号 $(1, \rho - 1)$ の形式（Lorentz 型）に特有の「逆向き Cauchy–Schwarz」です。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — 第 V 章 §1（曲面上の交叉理論、Hodge 指数定理）、§3（1 点の爆発）。
• A. Beauville, Complex Algebraic Surfaces, 2nd ed., London Mathematical Society Student Texts 34, Cambridge University Press, 1996 — 第 I 章（Euler 標数による交点数の定義、Riemann–Roch）、第 II 章（爆発）。
• D. Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies 59, Princeton University Press, 1966 — 交点数を Euler 標数で定義する講。
• W. Fulton, Intersection Theory, 2nd ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 2, Springer, 1998 — 第 7 章（交叉重複度）、第 15 章（Riemann–Roch）。
• L. Bădescu, Algebraic Surfaces, Universitext, Springer, 2001 — 第 1 章・第 2 章（交点数、Hodge 指数定理）。