交点形式

定理 3.5（「曲面上の交叉理論」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を曲面とする。

$(\mathcal{L}.\mathcal{M})$ は $\operatorname{Pic} X \times \operatorname{Pic} X \to \mathbb{Z}$ の対称な双線形形式である。したがって $C.D$ は因子について対称かつ双線形で、線形同値で不変である。
有効因子 $D$ と可逆層 $\mathcal{M}$ について $(\mathcal{O}_X(D).\mathcal{M}) = \chi(\mathcal{M}|_D) - \chi(\mathcal{O}_D)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 211 件、定義なども含めて 247 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
    開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 可逆層の切断を掛けて延長する✓補題 9.1・準連接層・連接層と直線束
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
  - 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 射影公式✓補題 6.4・準連接層・連接層と直線束
- 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層この先をたどる →
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
成分を避ける切断✓補題 3.4・曲面上の交叉理論
切断を掛ける完全列✓補題 3.3・曲面上の交叉理論
- 互いに素な 2 元は正則列✓補題 2.1・曲面上の交叉理論
  - 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
  - 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 有限個の点に台をもつ層の Euler 標数✓補題 2.3・曲面上の交叉理論この先をたどる →
有効因子との交点数✓補題 3.2・曲面上の交叉理論

これを使っている定理証明で参照している 5 件

交点数は局所交点数の和✓命題 3.6・曲面上の交叉理論
非特異曲線との交点数✓命題 3.7・曲面上の交叉理論
曲面の Riemann–Roch✓定理 4.1・曲面上の交叉理論
Bézout の定理✓定理 5.1・曲面上の交叉理論
1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論

交点形式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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