Bézout の定理

定理 5.1（「曲面上の交叉理論」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{P}^2 = \mathbb{P}^2_k$ は曲面で、 $\operatorname{Pic}\mathbb{P}^2$ は直線の類 $H$ で生成される無限巡回群、 $H^2 = 1$ である。次数 $d$ の曲線 $C$ と次数 $e$ の曲線 $D$ について $C.D = de$ で、 $C$ と $D$ が共通成分をもたなければ

\sum_{P \in C \cap D} (C.D)_P = de

である。とくに $\mathbb{P}^2$ の 2 つの曲線は必ず交わる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 299 件、定義なども含めて 343 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Proj はスキーム✓定理 6.3・アフィンスキームとスキーム
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 斉次部分加群の判定と剰余✓補題 2.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 斉次イデアルの素性の判定✓補題 6.2・アフィンスキームとスキーム
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束
- R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  - PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
  - ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- UFD と因子類群✓命題 3.3・因子と直線束
  - Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - UFD は整閉✓命題 3.3・整拡大この先をたどる →
  - 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 閉集合を除いたときの因子類群✓定理 3.4・因子と直線束
  - 有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束この先をたどる →
- Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
  - DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
交点数は局所交点数の和✓命題 3.6・曲面上の交叉理論
- 交点形式✓定理 3.5・曲面上の交叉理論（上で展開済み）
- 切断を掛ける完全列✓補題 3.3・曲面上の交叉理論この先をたどる →
交点形式✓定理 3.5・曲面上の交叉理論
- Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 成分を避ける切断✓補題 3.4・曲面上の交叉理論
- 切断を掛ける完全列✓補題 3.3・曲面上の交叉理論この先をたどる →
- 有効因子との交点数✓補題 3.2・曲面上の交叉理論

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爆発と算術種数✓系 7.4・曲面上の交叉理論

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