爆発と算術種数

系 7.4（「曲面上の交叉理論」§7）・ ✓公理まで証明済み

定理 7.3 の状況で、 $C$ を $X$ の上の曲線、 $m$ を $P$ での重複度とする。

$p_a(\tilde{C}) = p_a(C) - \dfrac{m(m - 1)}{2}$ である。
$C$ を $\mathbb{P}^2$ の次数 $d$ の既約な被約曲線とし、特異点 $P_1, \ldots, P_r$ がすべて通常特異点（重複度 $m_i$ で、定理 7.3 の証明の 2 元斉次式 $\bar{f}$ が相異なる $m_i$ 個の根をもつ点）であるとする。このとき、 $P_1, \ldots, P_r$ を順に爆発して得られる固有変換は非特異な既約曲線で、その種数は

g = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{i=1}^{r}\frac{m_i(m_i - 1)}{2}

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 510 件、定義なども含めて 583 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 射影空間への射と可逆層✓定理 5.1・因子と直線束
  - ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法
  - 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
  - はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- 被約誘導構造✓定理 4.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- Segre 埋め込み✓補題 7.1・曲面上の交叉理論
  - 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射この先をたどる →
- 爆発の座標近傍✓補題 7.2・曲面上の交叉理論この先をたどる →
- Proj はスキーム✓定理 6.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- Krull の交叉定理✓定理 5.1・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
- 交点数は局所交点数の和✓命題 3.6・曲面上の交叉理論この先をたどる →
- 成分を避ける切断✓補題 3.4・曲面上の交叉理論
- 交点形式✓定理 3.5・曲面上の交叉理論この先をたどる →
- 閉集合を除いたときの因子類群✓定理 3.4・因子と直線束
  - 有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束この先をたどる →
- 随伴公式✓定理 4.2・曲面上の交叉理論（上で展開済み）
Euler 完全列と射影空間の標準層✓定理 8.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分の局所化への延長✓補題 4.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 行列式層の性質✓補題 6.2・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
Bézout の定理✓定理 5.1・曲面上の交叉理論
- Proj はスキーム✓定理 6.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束この先をたどる →
- 交点数は局所交点数の和✓命題 3.6・曲面上の交叉理論この先をたどる →
- 交点形式✓定理 3.5・曲面上の交叉理論この先をたどる →
正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
随伴公式✓定理 4.2・曲面上の交叉理論
- 曲面の Riemann–Roch✓定理 4.1・曲面上の交叉理論この先をたどる →
- 完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

爆発と算術種数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）