Kähler 微分の計算規則

命題 4.2（「Kähler 微分と滑らかさの入口」§4）・ ✓公理まで証明済み

$B$ を $A$ 代数とする。

（多項式環） $P = A[x_1, \ldots, x_n]$ について、 $\Omega_{P/A}$ は $dx_1, \ldots, dx_n$ を基底とする自由 $P$ 加群で、 $df = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,dx_i$ である。
（局所化）積閉集合 $S \subseteq B$ について、 $\alpha(db/s) = (1/s)\,d(b/1)$ で定まる $S^{-1}B$ 線形写像 $\alpha\colon S^{-1}\Omega_{B/A} \to \Omega_{S^{-1}B/A}$ は同型である。
（基底変換）環準同型 $A \to A'$ について $B' = A' \otimes_A B$ とおき、 $A'$ 代数とみる。 $\alpha(b' \otimes db) = b'\,d(1 \otimes b)$ で定まる $B'$ 線形写像 $\alpha\colon B' \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{B'/A'}$ は同型である。 $B' \otimes_B \Omega_{B/A} \cong A' \otimes_A \Omega_{B/A}$ なので、 $\Omega_{B'/A'} \cong A' \otimes_A \Omega_{B/A}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
導分の局所化への延長✓補題 4.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 導分と平方零拡大の持ち上げ✓補題 3.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
関数体の微分の次元✓補題 7.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
Euler 完全列と射影空間の標準層✓定理 8.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
素元の微分は生成元✓補題 2.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Jacobi 行列による表示✓系 5.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
形式的に滑らかな代数の Ω は射影的✓定理 6.5・Kähler 微分と滑らかさの入口

Kähler 微分の計算規則

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件