数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

素元の微分は生成元

補題 2.1（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§2）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を曲線、 $P$ を点、 $u$ を $P$ での素元とする。

$\Omega_{X,P}$ は $du$ を基底とする階数 $1$ の自由 $\mathcal{O}_P$ 加群で、 $\Omega_{K(X)/k}$ は $du$ を基底とする $1$ 次元の $K(X)$ ベクトル空間である。そこで $h \in K(X)$ に対し $dh = (dh/du)\,du$ で $dh/du \in K(X)$ を定める。 $h \in \mathcal{O}_P$ なら $dh/du \in \mathcal{O}_P$ である。
$h \in K(X)^{\times}$ 、 $m = v_P(h)$ とする。 $m$ が $k$ の中で $0$ でない（ $p = 0$ なら $m \ne 0$ 、 $p > 0$ なら $p \nmid m$ ）とき $v_P(dh/du) = m - 1$ で、 $m$ が $k$ の中で $0$ である（ $m = 0$ 、または $p > 0$ で $p \mid m$ ）とき $v_P(dh/du) \ge m$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 340 件、定義なども含めて 395 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
  - ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Kähler 微分加群定義 2.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 体上有限型のスキームの閉点✓補題 2.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 被約誘導構造✓定理 4.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- 余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層（上で展開済み）
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 埋め込み次元・正則局所環・正則環定義 6.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 関数体の微分の次元✓補題 7.1・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- ファイバーの次元が生成点と等しければ局所自由✓補題 7.2・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 切断から作る導分✓補題 6.4・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 導分の局所化への延長✓補題 4.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

分岐と相対微分✓命題 3.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Weierstrass 点の重み✓補題 8.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

素元の微分は生成元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件