連接層の台と中山の補題

補題 7.2（「準連接層・連接層と直線束」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を局所 Noether スキーム、 $\mathcal{F}$ を連接層とする。

台 $\operatorname{Supp}\mathcal{F} = \{ x \in X : \mathcal{F}_x \ne 0 \}$ は閉集合である。
$x \in X$ とし、 $x$ の開近傍 $U$ の上の切断 $s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(U)$ の像が $\kappa(x)$ ベクトル空間 $\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} \kappa(x)$ を生成するとする。このとき $x$ の開近傍 $W \subseteq U$ で、すべての $y \in W$ について芽 $(s_i)_y$ が $\mathcal{F}_y$ を生成するものが存在する。
とくに $\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x) = 0$ ならば、 $x$ のある開近傍の上で $\mathcal{F} = 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 103 件、定義なども含めて 128 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
    アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
    V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
  - 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 6 件

ファイバーの次元が生成点と等しければ局所自由✓補題 7.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束
閉はめ込みの判定法✓命題 5.5・因子と直線束
豊富性の判定法✓定理 6.4・因子と直線束

連接層の台と中山の補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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