閉はめ込みの判定法

命題 5.5（「因子と直線束」§5）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を代数閉体、 $X$ を $k$ 上の射影多様体、 $\varphi\colon X \to \mathbb P^n_k$ を $(\mathcal L, s_0, \ldots, s_n)$ の定める射、 $V \subseteq \Gamma(X, \mathcal L)$ を $s_0, \ldots, s_n$ の張る部分空間とする。 $\varphi$ が閉はめ込みであることは、次の 2 条件と同値である。

（点の分離）相異なる閉点 $P, Q$ に対し、 $P$ で消え $Q$ で消えない $s \in V$ がある。
（接ベクトルの分離）閉点 $P$ ごとに、 $P$ で消える $s \in V$ の類が $\mathfrak m_P\mathcal L_P/\mathfrak m_P^2\mathcal L_P$ を $k$ 上張る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 394 件、定義なども含めて 454 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影空間の自己同型群✓系 5.2・因子と直線束
- 射影空間の Picard 群✓系 4.5・因子と直線束
  - Weil 因子と Cartier 因子の一致✓定理 4.2・因子と直線束この先をたどる →
  - Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束この先をたどる →
  - 射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束この先をたどる →
- 射影空間への射と可逆層✓定理 5.1・因子と直線束
  - ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジー
  - 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジーこの先をたどる →
- 閉はめ込みと可逆層のねじり✓補題 6.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影公式✓補題 6.4・準連接層・連接層と直線束
  - 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
局所環の準同型の全射性✓補題 5.4・因子と直線束
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →

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基点をもたない条件・非常に豊富な条件✓定理 7.1・曲線と Riemann–Roch の定理

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