開集合への制限と閉集合からの順像

補題 4.6（「層コホモロジー」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を位相空間、 $\mathcal F$ を $X$ 上の層とする。

$0 \to \mathcal F \to \mathcal K^\bullet$ を脆弱層による分解（たとえば入射分解）とする。開集合 $U$ について $H^i(U, \mathcal F) \cong H^i(\Gamma(U, \mathcal K^\bullet))$ である。
$i\colon Z \to X$ を閉集合の包含とする。 $i_*\colon \mathsf{Ab}(Z) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全で、 $Z$ 上の層 $\mathcal G$ について $H^p(Z, \mathcal G) \cong H^p(X, i_*\mathcal G)$ である。
$\mathcal F|_{X \setminus Z} = 0$ なら $\mathcal F \cong i_*(\mathcal F|_Z)$ で、 $H^p(X, \mathcal F) \cong H^p(Z, \mathcal F|_Z)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 62 件、定義なども含めて 75 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
    パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限
    フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
    集合のフィルター余極限の記述✓命題 6.3・極限と余極限この先をたどる →
    フィルター圏・順極限・逆極限定義 6.1・極限と余極限
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 芽の族の層✓補題 4.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手
  - 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 擬同型と錐の非輪状性✓系 5.4・鎖複体とホモトピー圏
    写像錐の長完全列✓定理 5.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 非輪状対象の完全複体✓補題 5.5・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 写像錐・写像柱定義 5.1・鎖複体とホモトピー圏
入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層（上で展開済み）
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 6 件

Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
Mayer–Vietoris 完全列✓命題 5.1・層コホモロジー
台つきコホモロジーの長完全列✓命題 5.4・層コホモロジー
Grothendieck の消滅定理✓定理 6.5・層コホモロジー
高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジー
アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジー

開集合への制限と閉集合からの順像

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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