脆弱層の基本性質

$X$ を位相空間とする。

1. $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ を $\mathsf{Ab}(X)$ の完全列とし、$\mathcal F'$ は脆弱とする。このとき、すべての開集合 $U$ について $0 \to \mathcal F'(U) \to \mathcal F(U) \to \mathcal F''(U) \to 0$ は完全である。
2. 1 でさらに $\mathcal F$ も脆弱なら、$\mathcal F''$ も脆弱である。
3. $\mathcal F$ が脆弱なら、開集合 $U$ への制限 $\mathcal F|_U$ と、連続写像 $f\colon X \to Y$ による順像 $f_*\mathcal F$ も脆弱である。脆弱層の有限直和は脆弱である。