代数幾何 II 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（層コホモロジー、因子と直線束、Serre 双対、曲線の Riemann–Roch、楕円曲線、曲面の交点数）の定理と証明を一通り学び、具体計算で理解を確かめたい修士課程の人。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer GTM 52
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press
• R. Vakil, The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry, Princeton University Press
• J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer GTM 106

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜7: 層コホモロジー・脆弱層・消滅定理
• 8〜15: Čech コホモロジーと射影空間
• 16〜23: 因子と直線束
• 24〜29: Ext 層と Serre 双対
• 30〜37: 曲線と Riemann–Roch の定理
• 38〜44: Riemann–Hurwitz・楕円曲線・標準埋め込み
• 45〜50: 曲面上の交叉理論

形式: 単一選択 15・複数選択 9・○× 6・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 15 / 30 / 5。

この冊で使う定義・定理（78）

• 系 4.2 アフィン開集合の個数による消滅 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 10 番
• 系 7.8 超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 9, 12, 15 番
• 定義 7.7 射影スキームの次数と算術種数 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 11, 25 番
• 例 7.10 P^1 × P^1 上の O(a, b) Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 18, 20 番
• 例 4.3 穴あき平面の H^1 は無限次元 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 10 番
• 補題 7.3 射影空間上の O(n) の Euler 標数 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 9, 11 番
• 命題 7.2 Euler 標数の加法性 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 11, 14 番
• 定理 5.1 射影空間のコホモロジー Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 8, 13, 14, 15, 22, 27 番
• 定理 7.6 層の Hilbert 多項式 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 9 番
• 定理 6.2 Serre の有限性定理と消滅定理 Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー → 13, 29 番
• 系 3.6 射影空間の因子類群 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 16, 17 番
• 定義 6.1 豊富・非常に豊富 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 20 番
• 定義 4.1 Cartier 因子 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 21 番
• 定義 3.1 素因子・Weil 因子・有理関数の因子 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 17, 21 番
• 例 3.8 P^1 × P^1 の因子類群は Z^2 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 18, 23 番
• 例 5.6 Veronese 埋め込みと Segre 埋め込み 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 22 番
• 補題 5.4 局所環の準同型の全射性 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 19 番
• 命題 5.5 閉はめ込みの判定法 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 19 番
• 定理 6.4 豊富性の判定法 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 20 番
• 定理 4.4 Cartier 因子類群と Picard 群 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 18 番
• 定理 3.4 閉集合を除いたときの因子類群 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 16, 23 番
• 定理 5.1 射影空間への射と可逆層 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 19, 22, 36 番
• 定理 4.2 Weil 因子と Cartier 因子の一致 因子と直線束：Weil 因子・Cartier 因子・射影空間への射 → 21 番
• 系 4.4 射があれば種数は下がらない Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 40 番
• 系 3.6 射影直線の不分岐被覆は自明 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 40 番
• 定義 3.1 分離的な射・従順な分岐・野性的な分岐 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 38, 39 番
• 補題 8.3 自己同型の固定点の個数 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 41 番
• 補題 4.1 関数体と $p$ 冪乗の部分体 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 44 番
• 補題 4.2 Frobenius 射で種数は変わらない Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 40, 44 番
• 補題 7.2 種数 1 以上の曲線の低次の因子 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 33 番
• 補題 8.5 有限群による商 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 41 番
• 命題 3.2 分岐と相対微分 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 39, 44 番
• 定理 6.2 $j$ 不変量による分類 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 42 番
• 定理 3.4 Riemann–Hurwitz の公式 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 38, 39, 40, 41, 44 番
• 定理 6.1 Weierstrass 形 Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み → 42 番
• 系 7.4 爆発と算術種数 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 46, 49 番
• 定義 6.1 数値的同値 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 48 番
• 例 4.3 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ の交点形式と $(a, b)$ 型の曲線の種数 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 45, 47 番
• 補題 6.2 豊富な因子の正値性 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 47, 48 番
• 命題 3.7 非特異曲線との交点数 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 45 番
• 命題 3.6 交点数は局所交点数の和 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 48 番
• 定理 4.2 随伴公式 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 46, 49, 50 番
• 定理 5.1 Bézout の定理 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 48 番
• 定理 7.3 1 点の爆発 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 46, 49, 50 番
• 定理 6.3 Hodge 指数定理 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 47 番
• 定理 3.5 交点形式 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理 → 45, 50 番
• 系 6.5 標準因子の次数 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 12, 25, 30, 32, 43 番
• 系 6.6 次数が大きい因子 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 30, 34, 36, 37 番
• 命題 5.3 引き戻しの次数 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 33, 35, 37 番
• 命題 6.1 $l(D)$ の基本性質 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 31, 32, 33, 43 番
• 定理 4.2 曲線と 1 変数関数体の圏同値 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 35 番
• 定理 7.2 種数 0 の曲線 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 35 番
• 定理 6.4 Riemann–Roch の定理 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 31, 32, 34, 43 番
• 定理 7.1 基点をもたない条件・非常に豊富な条件 曲線と Riemann–Roch の定理：関数体・因子の次数・種数 → 34, 36, 37 番
• 系 7.4 非特異射影多様体の Serre 双対 Ext 層と Serre 双対 → 26, 27 番
• 定義 7.1 局所完全交叉・余法層・法層 Ext 層と Serre 双対 → 24 番
• 例 7.6 完全交叉の標準層と 4 次曲面 Ext 層と Serre 双対 → 12, 24, 25 番
• 例 7.5 平面曲線の双対化層と種数 Ext 層と Serre 双対 → 27, 31 番
• 補題 6.3 Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅 Ext 層と Serre 双対 → 26 番
• 補題 3.2 局所自由層と Hom・テンソル積 Ext 層と Serre 双対 → 28 番
• 命題 3.5 局所自由分解による Ext 層の計算 Ext 層と Serre 双対 → 28 番
• 命題 3.4 Ext の基本性質 Ext 層と Serre 双対 → 29 番
• 定理 7.3 局所完全交叉の双対化層 Ext 層と Serre 双対 → 24 番
• 定理 5.4 双対化層の存在と一意性 Ext 層と Serre 双対 → 28 番
• 定理 6.4 Serre 双対定理 Ext 層と Serre 双対 → 26, 29 番
• 系 8.4 アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 7 番
• 系 4.5 加群の層として計算しても同じ 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 4 番
• 定義 4.1 脆弱層 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 1, 2 番
• 例 7.10 射影直線の構造層 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 5 番
• 例 7.11 穴あき平面はアフィンでない 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 4 番
• 補題 6.4 既約な空間上の定数層は脆弱 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 1, 3 番
• 補題 4.2 脆弱層の基本性質 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 1 番
• 補題 4.6 開集合への制限と閉集合からの順像 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 3 番
• 命題 5.1 Mayer–Vietoris 完全列 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 4, 6 番
• 定理 7.4 アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 2, 5, 6, 7 番
• 定理 4.4 脆弱層は Γ 非輪状 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 3 番
• 定理 6.5 Grothendieck の消滅定理 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 2, 10 番
• 定理 7.8 Serre のアフィン判定法 層コホモロジー：導来関手・脆弱層・消滅定理 → 2, 5, 6, 7 番