Ext 層と Serre 双対

0. この記事の要点

位相幾何には、向きのある閉じた $n$ 次元多様体の $i$ 次元の穴の数と $(n-i)$ 次元の穴の数が等しい、という Poincaré 双対があります。この記事は、その代数幾何版である Serre 双対を、証明つきで扱います。式で言えば、ある層の $i$ 番目のコホモロジーと、別の層の $(n-i)$ 番目のコホモロジーが、互いの双対空間になるという主張です。読み終えると、曲線では $H^1(\mathcal O_X)$ の次元と正則微分形式の個数が等しいことや、平面曲線の種数が $(d-1)(d-2)/2$ になる理由を、この定理から説明できるようになります。

• $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F, \mathcal G$ の Ext 群 $\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal G)$ と Ext 層 $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G)$ は、$\operatorname{Hom}(\mathcal F, -)$ と $\mathcal{H}om(\mathcal F, -)$ の右導来関手です。$\operatorname{Ext}^i(\mathcal O_X, \mathcal G) = H^i(X, \mathcal G)$ で、Ext 層は局所自由層による分解で計算でき、茎は局所環上の Ext です。二つはスペクトル系列（コホモロジーを段階的に近似して計算する道具）$H^p(X, \mathcal{E}xt^q(\mathcal F, \mathcal G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}(\mathcal F, \mathcal G)$ で結ばれます。
• 射影空間の双対: $P = \mathbb P^n_k$、$\omega_P = \mathcal O(-n-1)$ について $H^n(P, \omega_P) \cong k$ で、連接層 $\mathcal F$ に対し $\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_P) \cong H^{n-i}(P, \mathcal F)^\vee$ です。
• $n$ 次元の射影スキーム $X \subseteq \mathbb P^N_k$ は双対化層（下の式で、$H^n(X, -)$ の双対空間を表す層）$\omega_X^\circ = \mathcal{E}xt^{N-n}_P(\mathcal O_X, \omega_P)$ をもち、$\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong H^n(X, \mathcal F)^\vee$ です。双対化層は同型を除いて一意です。
• Serre 双対: $X$ が等次元 $n$ の Cohen–Macaulay 射影スキームなら、$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee$ がすべての $i$ で成り立ち、局所自由層 $\mathcal E$ では $H^i(X, \mathcal E) \cong H^{n-i}(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X^\circ)^\vee$ です。Cohen–Macaulay 性は、$H^i(X, \mathcal E(-q))$（$i < n$）が $q$ を大きくすると消えることと同値です。
• 局所完全交叉（各点でイデアルが正則列で生成される閉部分スキーム）$X \subseteq \mathbb P^N_k$ では $\omega_X^\circ \cong \omega_P \otimes \bigwedge^r\mathcal N_{X/P}$ で、非特異射影多様体では標準層 $\omega_X = \bigwedge^n\Omega_{X/k}$ に一致します。曲線では $H^1(\mathcal O_X) \cong H^0(\omega_X)^\vee$ となり、算術種数と幾何種数が等しくなります。

この記事で使う事前知識

• 右導来関手: 左完全な関手 $F$ を、入射分解に当てはめて得られるコホモロジーの列 $R^iF$ のこと。Ext 群・Ext 層がこれにあたります。→ 右導来関手
• Ext と深さ: Ext 群は自由分解から Hom で計算する群、深さは正則列の最大の長さのこと。→ Tor・Ext と深さ
• 層コホモロジー: 層のコホモロジー群 $H^i(X, \mathcal F)$ と、脆弱層・Serre の消滅定理。→ 層コホモロジー
• 射影空間のコホモロジー: $H^i(\mathbb P^n, \mathcal O(q))$ の具体的な計算と有限次元性。→ Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
• 連接層: 局所的に有限生成加群から定まる層のこと。→ 連接層
• Cohen–Macaulay 環: 局所環の深さが次元に等しい環のこと。→ Cohen–Macaulay 環と正則局所環

1. 動機

射影空間のコホモロジーを計算したとき、$H^0(\mathbb P^r, \mathcal O(n))$ と $H^r(\mathbb P^r, \mathcal O(-n-r-1))$ の基底が $x^m \leftrightarrow x^{-1-m}$ でぴったり対応していました。両者は $H^r(\mathbb P^r, \mathcal O(-r-1)) \cong k$ への掛け算で互いの双対になっています。これは射影空間に限った偶然ではなく、$n$ 次元の非特異射影多様体 $X$ では、標準層 $\omega_X$ について

$$H^i(X, \mathcal E) \cong H^{n-i}(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X)^\vee$$

がすべての局所自由層 $\mathcal E$ で成り立ちます。位相幾何の Poincaré 双対に当たる定理で、Serre 双対と呼ばれます。

曲線（$n = 1$）では、$H^1$ がすべて $H^0$ に置き換わります。$H^1(X, \mathcal O(D)) \cong H^0(X, \mathcal O(K - D))^\vee$（$K$ は標準因子）で、Euler 標数の計算 $\chi(\mathcal O(D)) = \deg D + 1 - g$ にこれを代入したものが Riemann–Roch の定理です。

証明は三段階で進みます。まず射影空間で、$\mathcal O(q)$ の計算から任意の連接層に広げます。次に閉部分スキーム $X \subseteq \mathbb P^N$ について、$\mathbb P^N$ の双対を Ext 層で $X$ に引き戻し、$H^n(X, -)^\vee$ を表現する層（双対化層）を作ります。最後に、$i > 0$ の双対が成り立つ条件が Cohen–Macaulay 性であることを示し、局所完全交叉では双対化層を Koszul 複体で計算して標準層と同一視します。留数は使いません。

2. 準備

$k$ は代数閉体とします。$k$ 上の射影スキーム $X \subseteq \mathbb P^N_k$ の連接層について、コホモロジーが有限次元であること、Serre の消滅定理（定理 6.2［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）、$\mathbb P^N$ のコホモロジー（定理 5.1［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）を使います。有限次元ベクトル空間 $V$ の双対を $V^\vee$ と書きます。部分空間は補空間をもつので（定理 5.3［双対空間と商空間］）部分空間上の線形形式は全体に延び、有限次元ベクトル空間の完全列の双対は完全です。

δ 関手については導来関手の章の用語を使います。アーベル圏 $\mathcal A$ 上の反変な δ 関手とは、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$（アーベル圏。命題 4.2［加法圏とアーベル圏］）上のコホモロジー的 δ 関手のことで、$\mathcal A$ の短完全列 $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ に連結射 $T^i(X') \to T^{i+1}(X'')$ が対応します。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での消去可能性（定義 4.3［導来関手と δ 関手］）は、「どの対象 $X$ にも epi $u\colon E \to X$ で $T^i(u) = 0$ となるものがある」という条件で、$T^i(E) = 0$ となる $E$ からの epi があれば満たされます。

$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F, \mathcal G$ について、$\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal G)$ は $U \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal O_U}(\mathcal F|_U, \mathcal G|_U)$ で定まる層、$\mathcal F^\vee = \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal O_X)$ です。有限階数の局所自由層 $\mathcal L$ について $\mathcal{H}om(\mathcal L, \mathcal G) \cong \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G$、$\operatorname{Hom}(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G)$ で、$- \otimes \mathcal L$ は完全です（準連接層の章）。

この節の δ 関手の話は、後の証明で「二つの関手が一致する」ことを示す道具です。使い方は一点だけで、次数 $0$ で一致し、高次では消去可能であれば、全次数で一致します。

3. Ext 群と Ext 層

定義 3.1（Ext 群・Ext 層）↗

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、$\mathcal F$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。$\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ は十分に入射対象をもつ（定理 8.2［層］）。左完全関手 $\operatorname{Hom}(\mathcal F, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Ab}$ と $\mathcal{H}om(\mathcal F, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ の第 $i$ 右導来関手を、それぞれ

$$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, -), \qquad \mathcal{E}xt^i(\mathcal F, -)$$

と書き、Ext 群、Ext 層という。$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal G)$ は 定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1 の意味の $\operatorname{Ext}^i_{\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)}(\mathcal F, \mathcal G)$ である。空間を明示するときは $\operatorname{Ext}^i_X$、$\mathcal{E}xt^i_X$ と書く。

$\mathcal G$ の入射分解 $\mathcal I^\bullet$ により、$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal G) = H^i(\operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal I^\bullet))$、$\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G) = H^i(\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal I^\bullet))$（コホモロジー層）です。

補題 3.2（局所自由層と Hom・テンソル積）✓

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、$\mathcal L$ を有限階数の局所自由層、$\mathcal F, \mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。

1. $\mathcal L^\vee \otimes \mathcal G \to \mathcal{H}om(\mathcal L, \mathcal G)$、$\varphi \otimes g \mapsto (l \mapsto \varphi(l)g)$ は同型である。
2. $\mathcal{H}om(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G) \cong \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal G) \otimes \mathcal L^\vee$ で、大域切断をとって $\operatorname{Hom}(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G)$ である。同型は $\mathcal F, \mathcal G$ について自然である。
3. $- \otimes \mathcal L$ は完全関手である。

証明（補題 3.2）

どの主張も、自然に定まる射が同型であること、あるいは列が完全であることで、$\mathcal L \cong \mathcal O^{\oplus c}$ となる開集合の上で確かめれば十分である。そこでは (1) の両辺は $\mathcal G^{\oplus c}$ で射は恒等写像、(3) は $\mathcal G \mapsto \mathcal G^{\oplus c}$ の完全性である。(2) の最初の同型は、$\mathcal F \otimes \mathcal L$ からの射が $\mathcal F \times \mathcal L$ からの双線形な射と同じものであることによる自然な同型 $\mathcal{H}om(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal{H}om(\mathcal L, \mathcal G))$ と (1) の合成である。二つ目は自然な射 $\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal G) \otimes \mathcal L^\vee \to \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal G \otimes \mathcal L^\vee)$、$\psi \otimes \varphi \mapsto (a \mapsto \psi(a) \otimes \varphi)$ で、$\mathcal L$ が自由な開集合の上では両辺とも $\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal G)^{\oplus c}$ である。

∎

次の補題は、Ext 層を入射分解で扱うための準備です。入射的な層に $\mathcal{H}om$ を作ると脆弱層になること（後のスペクトル系列で使います）と、局所自由層とのテンソル積で入射性が保たれること（Ext とテンソル積の交換で使います）を示します。

補題 3.3（入射的な加群の層の性質）✓

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、$\mathcal I$ を入射的な $\mathcal O_X$ 加群とする。

1. 開集合 $U$ について $\mathcal I|_U$ は入射的な $\mathcal O_U$ 加群である。
2. $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ について $\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal I)$ は脆弱である。また $\mathcal{H}om(-, \mathcal I)$ は完全関手である。
3. 有限階数の局所自由層 $\mathcal L$ について $\mathcal L \otimes \mathcal I$ は入射的である。

証明（補題 3.3）

(1) 包含 $j\colon U \to X$ について、$j_!$ は完全で、制限 $j^{-1}$ の左随伴である（命題 7.2［層］。$\mathcal O$ 線形性が保たれることは 命題 4.3［層コホモロジー］ の証明で見た）。左随伴が完全なら右随伴は入射対象を保つ（命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。

(2) $U$ の上の切断 $\varphi\colon \mathcal F|_U \to \mathcal I|_U$ は、随伴により $\varphi'\colon j_!(\mathcal F|_U) \to \mathcal I$ に対応する。$j_!(\mathcal F|_U) \to \mathcal F$ は単射で $\mathcal I$ は入射的だから、$\varphi'$ は $\psi\colon \mathcal F \to \mathcal I$ に延び、$\psi|_U = \varphi$ である。よって $\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal I)$ は脆弱である。単射 $\mathcal F' \to \mathcal F$ について、各 $U$ で $\operatorname{Hom}(\mathcal F|_U, \mathcal I|_U) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F'|_U, \mathcal I|_U)$ は (1) により全射だから、$\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal I) \to \mathcal{H}om(\mathcal F', \mathcal I)$ は全射である。左完全性と合わせて $\mathcal{H}om(-, \mathcal I)$ は完全である。

(3) $\operatorname{Hom}(-, \mathcal L \otimes \mathcal I) \cong \operatorname{Hom}(- \otimes \mathcal L^\vee, \mathcal I)$ は、完全関手 $- \otimes \mathcal L^\vee$ と完全関手 $\operatorname{Hom}(-, \mathcal I)$ の合成だから完全である（補題 3.2 の 2 と 3）。

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命題 3.4（Ext の基本性質）✓

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、$\mathcal F, \mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。

1. 開集合 $U$ について $\mathcal{E}xt^i_X(\mathcal F, \mathcal G)|_U \cong \mathcal{E}xt^i_U(\mathcal F|_U, \mathcal G|_U)$ である。
2. $\mathcal{E}xt^0(\mathcal O_X, \mathcal G) = \mathcal G$、$i > 0$ で $\mathcal{E}xt^i(\mathcal O_X, \mathcal G) = 0$、すべての $i$ で $\operatorname{Ext}^i(\mathcal O_X, \mathcal G) \cong H^i(X, \mathcal G)$ である。
3. $\operatorname{Ext}^\bullet(-, \mathcal G)$ と $\mathcal{E}xt^\bullet(-, \mathcal G)$ は $\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ 上の反変な δ 関手である。すなわち短完全列 $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ から長完全列 $$0 \to \operatorname{Hom}(\mathcal F'', \mathcal G) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal G) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F', \mathcal G) \to \operatorname{Ext}^1(\mathcal F'', \mathcal G) \to \operatorname{Ext}^1(\mathcal F, \mathcal G) \to \cdots$$ が自然に得られ、$\mathcal{E}xt$ についても同様である。
4. 有限階数の局所自由層 $\mathcal L$ について $$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G), \qquad \mathcal{E}xt^i(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G) \cong \mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G) \otimes \mathcal L^\vee$$ である。とくに $\operatorname{Ext}^i(\mathcal L, \mathcal G) \cong H^i(X, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G)$ である。

証明（命題 3.4）

$\mathcal G$ の入射分解 $\mathcal I^\bullet$ をとる。

(1) $\mathcal I^\bullet|_U$ は $\mathcal G|_U$ の入射分解で（補題 3.3 の 1）、$\mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal I^n)|_U = \mathcal{H}om(\mathcal F|_U, \mathcal I^n|_U)$ である。制限は完全でコホモロジー層と交換する。

(2) $\mathcal{H}om(\mathcal O_X, -)$ は恒等関手で完全だから、高次の導来関手は $0$ である。$\operatorname{Hom}(\mathcal O_X, -) = \Gamma(X, -)$ で、その $\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ での導来関手は $H^i(X, -)$ である（系 4.5［層コホモロジー］）。

(3) $\operatorname{Hom}(-, \mathcal I^n)$ と $\mathcal{H}om(-, \mathcal I^n)$ は完全だから（補題 3.3 の 2）、複体の短完全列 $0 \to \operatorname{Hom}(\mathcal F'', \mathcal I^\bullet) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal I^\bullet) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F', \mathcal I^\bullet) \to 0$（$\mathcal{H}om$ でも同様）を得る。その長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）が求めるもので、短完全列の射についての自然性は複体の射の自然性から従う。

(4) 補題 3.2 を使う。$T^i(\mathcal G) = \operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G)$ は、$\mathcal L^\vee \otimes -$ が完全だから $\mathcal G$ についての δ 関手で、$T^0(\mathcal G) = \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G)$ である。$\mathcal G$ が入射的なら $\mathcal L^\vee \otimes \mathcal G$ も入射的で（補題 3.3 の 3）、$i > 0$ で $T^i(\mathcal G) = 0$ だから $T^i$ は消去可能である。系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 3 により $T^i \cong \operatorname{Ext}^i(\mathcal F \otimes \mathcal L, -)$ である。$\mathcal{E}xt$ についても同じ議論で、$\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes -)$ と $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, -) \otimes \mathcal L^\vee$ はどちらも δ 関手、次数 $0$ では $\mathcal{H}om(\mathcal F \otimes \mathcal L, -)$ に同型、$i > 0$ で入射的な層の上で $0$ だから、$\mathcal{E}xt^i(\mathcal F \otimes \mathcal L, -)$ に同型である。最後の主張は $\mathcal F = \mathcal O_X$ の場合と (2) による。

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命題 3.5（局所自由分解による Ext 層の計算）✓

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間とする。

1. $\cdots \to \mathcal L_1 \to \mathcal L_0 \to \mathcal F \to 0$ を、有限階数の局所自由層 $\mathcal L_j$ による $\mathcal F$ の分解とする。任意の $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal G$ について $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G) \cong H^i(\mathcal{H}om(\mathcal L_\bullet, \mathcal G))$ である。
2. $X = \operatorname{Spec} A$ を Noether アフィンスキーム、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$N$ を $A$ 加群とすると、$\mathcal{E}xt^i(\widetilde M, \widetilde N) \cong \widetilde{\operatorname{Ext}^i_A(M, N)}$ である。
3. $X$ を Noether スキーム、$\mathcal F$ を連接層、$\mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群、$x \in X$ とすると、$\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G)_x \cong \operatorname{Ext}^i_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal F_x, \mathcal G_x)$ である。$\mathcal G$ も連接なら $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G)$ は連接である。

証明（命題 3.5）

(1) $S^i(\mathcal G) = H^i(\mathcal{H}om(\mathcal L_\bullet, \mathcal G))$ とおく。$\mathcal{H}om(\mathcal L_j, -) \cong \mathcal L_j^\vee \otimes -$ は完全だから（補題 3.2）、$\mathcal G$ の短完全列は複体の短完全列を与え、$S$ は δ 関手である。$\mathcal{H}om(-, \mathcal G)$ は左完全な反変関手なので、$\mathcal L_1 \to \mathcal L_0 \to \mathcal F \to 0$ の完全性から $S^0(\mathcal G) = \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal G)$ である。$\mathcal G$ が入射的なら $\mathcal{H}om(-, \mathcal G)$ は完全で（補題 3.3 の 2）、$i > 0$ で $S^i(\mathcal G) = 0$ である。よって $S^i$（$i > 0$）は消去可能で、系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 3 により $S^i \cong \mathcal{E}xt^i(\mathcal F, -)$ である。

(2) $A$ は Noether なので、$M$ は有限階数の自由加群による分解 $L_\bullet \to M$ をもつ。$\widetilde{L_\bullet} \to \widetilde M$ は自由層による分解で、$\mathcal{H}om(\widetilde{L_j}, \widetilde N) = \widetilde{\operatorname{Hom}_A(L_j, N)}$ である。$M \mapsto \widetilde M$ は完全でコホモロジーと交換するから（定理 4.3［準連接層・連接層と直線束］）、(1) により $\mathcal{E}xt^i(\widetilde M, \widetilde N) \cong \widetilde{H^i(\operatorname{Hom}_A(L_\bullet, N))} = \widetilde{\operatorname{Ext}^i_A(M, N)}$ である（定義 4.1［Tor・Ext と深さ］）。

(3) 命題 3.4 の 1 により、$x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} A$ に制限してよい。$\mathcal F = \widetilde M$ とし、(2) の $L_\bullet$ をとる。(1) により $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G) \cong H^i(\mathcal{H}om(\widetilde{L_\bullet}, \mathcal G))$ である。茎をとる関手は完全で、有限階数の自由層 $\mathcal L$ について $\mathcal{H}om(\mathcal L, \mathcal G)_x = \operatorname{Hom}_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal L_x, \mathcal G_x)$ だから、$\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G)_x \cong H^i(\operatorname{Hom}_{\mathcal O_{X,x}}((L_\bullet)_{\mathfrak p}, \mathcal G_x))$（$\mathfrak p$ は $x$ に対応する素イデアル）である。局所化は完全なので $(L_\bullet)_{\mathfrak p}$ は $\mathcal F_x = M_{\mathfrak p}$ の自由分解で、右辺は $\operatorname{Ext}^i_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal F_x, \mathcal G_x)$ である。$\mathcal G = \widetilde N$ が連接なら、(2) と $\operatorname{Ext}^i_A(M, N)$ が有限生成であること（有限生成加群の複体 $\operatorname{Hom}_A(L_\bullet, N)$ のコホモロジー）から連接性が従う。

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定理 3.6（局所から大域へのスペクトル系列）✓

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、$\mathcal F, \mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。第一象限のスペクトル系列

$$E_2^{p,q} = H^p\bigl(X, \mathcal{E}xt^q(\mathcal F, \mathcal G)\bigr) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}(\mathcal F, \mathcal G)$$

がある。

証明（定理 3.6）

$\operatorname{Hom}(\mathcal F, -) = \Gamma(X, -) \circ \mathcal{H}om(\mathcal F, -)$ である。$\mathcal{H}om(\mathcal F, -)$ は入射対象を脆弱層に写し（補題 3.3 の 2）、脆弱層は $\Gamma(X, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Ab}$ について非輪状である（定理 4.4［層コホモロジー］、系 4.5［層コホモロジー］）。Grothendieck のスペクトル系列（定理 5.1［Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー］）を $F = \mathcal{H}om(\mathcal F, -)$、$G = \Gamma(X, -)$ に適用すればよい。

∎

次の補題は添字を追う技術的なものです。内容は、$E_2$ の $0$ 列より右の項が必要な範囲で消えていれば、$H^i$ は $0$ 列の項そのものになる、ということで、直後の命題でこの形だけを使います。

補題 3.7（高次の行が消えるときの同型）✓

第一象限のスペクトル系列 $E_2^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}$ と整数 $i \ge 0$ について、$p \ge 1$ かつ $q \le i$ なら $E_2^{p,q} = 0$ であるとする。このとき $H^i \cong E_2^{0,i}$ である。

証明（補題 3.7）

$E_r^{p,q}$ は $E_2^{p,q}$ の部分商だから、$p \ge 1$、$q \le i$ なら $r \ge 2$ で $E_r^{p,q} = 0$ である。位置 $(0, i)$ では、入ってくる微分の始域 $E_r^{-r, i+r-1}$ は $0$、出ていく微分の終域 $E_r^{r, i-r+1}$ は $r \ge 2$、$i - r + 1 \le i$ だから $0$ である。補題 2.2［スペクトル系列］ の 3 により $E_\infty^{0,i} \cong E_2^{0,i}$ である。また $p \ge 1$ で $E_\infty^{p, i-p} = 0$ である。収束の定義（定義 2.3［スペクトル系列］）と $F^0H^i = H^i$、$F^{i+1}H^i = 0$（命題 6.1［スペクトル系列］ の 1）から、$F^pH^i/F^{p+1}H^i \cong E_\infty^{p,i-p} = 0$（$1 \le p \le i$）を $p = i$ から順に使って $F^1H^i = 0$、したがって $H^i = F^0H^i/F^1H^i \cong E_\infty^{0,i} \cong E_2^{0,i}$ である。

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命題 3.8（十分にねじった Ext は Ext 層の大域切断）✓

$X$ を $k$ 上の射影スキーム、$\mathcal F, \mathcal G$ を連接層、$i \ge 0$ とする。ある $q_0$ があって、$q \ge q_0$ なら

$$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal G(q)) \cong \Gamma\bigl(X, \mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G)(q)\bigr)$$

である。

証明（命題 3.8）

$\mathcal{E}xt^j(\mathcal F, \mathcal G(q)) \cong \mathcal{E}xt^j(\mathcal F, \mathcal G)(q)$ である（命題 3.4 の 4）。$\mathcal{E}xt^j(\mathcal F, \mathcal G)$（$0 \le j \le i$）は有限個の連接層だから（命題 3.5 の 3）、Serre の消滅定理（定理 6.2［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］ の 2）により、ある $q_0$ 以上の $q$ で $H^p(X, \mathcal{E}xt^j(\mathcal F, \mathcal G)(q)) = 0$（$p \ge 1$、$j \le i$）である。定理 3.6 のスペクトル系列（$\mathcal G$ を $\mathcal G(q)$ に替える）に 補題 3.7 を使えばよい。

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4. 射影空間の双対定理

$P = \mathbb P^n_k$（$n \ge 1$）とし、$\omega_P = \mathcal O_P(-n-1)$ とおきます。これは標準層 $\bigwedge^n\Omega_{P/k}$ に同型です（定理 8.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］）が、この節では $\mathcal O(-n-1)$ であることだけを使います。

証明の方針は三段階です。まず $\mathcal F = \mathcal O(q)$ の場合を、既に計算したコホモロジーの基底の対応で確かめます。次に、$\mathcal O(q)$ の直和で表示できる層から一般の連接層へ広げます。最後に、二つの関手が次数 $0$ で一致し、$i > 0$ では十分ねじった層の上で消えることから、δ 関手の普遍性で全次数の一致を得ます。

定理 4.1（射影空間の双対定理）✓

$n \ge 1$、$P = \mathbb P^n_k$、$\omega_P = \mathcal O_P(-n-1)$ とする。

1. $H^n(P, \omega_P) \cong k$ である。同型 $t\colon H^n(P, \omega_P) \to k$ を一つ固定する。
2. 連接層 $\mathcal F$ について、$\varphi \mapsto t \circ H^n(\varphi)$ は同型 $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_P) \to H^n(P, \mathcal F)^\vee$ である。すなわち $$\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_P) \times H^n(P, \mathcal F) \to H^n(P, \omega_P) \xrightarrow{\ t\ } k$$ は有限次元ベクトル空間の完全ペアリングである。
3. すべての $i \ge 0$ について、連接層 $\mathcal F$ について自然な同型 $\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_P) \cong H^{n-i}(P, \mathcal F)^\vee$ があり、$i = 0$ では 2 の同型に一致し、短完全列の連結射と可換である。

証明（定理 4.1）

(1) 定理 5.1［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］ の 3 である。

(2) $\theta_{\mathcal F}\colon \operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_P) \to H^n(P, \mathcal F)^\vee$、$\varphi \mapsto t \circ H^n(\varphi)$ は $\mathcal F$ について自然である。

$\mathcal F = \mathcal O(q)$ の場合。$\operatorname{Hom}(\mathcal O(q), \mathcal O(-n-1)) = H^0(P, \mathcal O(-q-n-1))$ で、切断 $s$ に対応する射は $s$ を掛ける射 $\mu_s$ である。$m = -q-n-1$ とおくと $q = -m-n-1$ で、$\theta$ の定めるペアリング $H^0(P, \mathcal O(m)) \times H^n(P, \mathcal O(-m-n-1)) \to k$、$(s, \xi) \mapsto t(H^n(\mu_s)(\xi))$ は 定理 5.1［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］ の 4 の完全ペアリングである。よって $\theta_{\mathcal O(q)}$ は同型で、有限直和 $\mathcal E = \bigoplus_j \mathcal O(q_j)$ についても同型である。

一般の場合。$\mathcal F$ は有限直和 $\mathcal E_0 = \bigoplus_j \mathcal O(-a_j)$ の商で、核も連接だから、完全列 $\mathcal E_1 \to \mathcal E_0 \to \mathcal F \to 0$（$\mathcal E_1$ も同じ形）がある（定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］）。$\operatorname{Hom}(-, \omega_P)$ は左完全だから $0 \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_P) \to \operatorname{Hom}(\mathcal E_0, \omega_P) \to \operatorname{Hom}(\mathcal E_1, \omega_P)$ は完全である。一方、連接層について $H^{n+1}(P, -) = 0$ だから（系 4.2［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）、$H^n(P, -)$ は連接層の全射を全射に写す。$\mathcal R = \ker(\mathcal E_0 \to \mathcal F)$ として、$H^n(\mathcal R) \to H^n(\mathcal E_0) \to H^n(\mathcal F) \to 0$ は完全、$H^n(\mathcal E_1) \to H^n(\mathcal R)$ は全射なので、$H^n(\mathcal E_1) \to H^n(\mathcal E_0) \to H^n(\mathcal F) \to 0$ は完全である。双対をとって $0 \to H^n(\mathcal F)^\vee \to H^n(\mathcal E_0)^\vee \to H^n(\mathcal E_1)^\vee$ は完全である。$\theta$ は自然変換で、$\theta_{\mathcal E_0}$、$\theta_{\mathcal E_1}$ は同型だから、核の間の写像 $\theta_{\mathcal F}$ も同型である。

(3) $T^i = \operatorname{Ext}^i(-, \omega_P)$ と $S^i = H^{n-i}(P, -)^\vee$（$i > n$ では $0$）を連接層の圏 $\mathsf{Coh}(P)$ 上の反変関手と見る。$T$ は反変な δ 関手である（命題 3.4 の 3）。$S$ については、短完全列 $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ のコホモロジーの長完全列の双対をとると、完全列

$$0 \to H^n(\mathcal F'')^\vee \to H^n(\mathcal F)^\vee \to H^n(\mathcal F')^\vee \to H^{n-1}(\mathcal F'')^\vee \to H^{n-1}(\mathcal F)^\vee \to \cdots$$

が得られ（左端の $0$ は $H^{n+1}(\mathcal F') = 0$ による）、連結射の双対を連結射として $S$ も反変な δ 関手である。

どちらも $i > 0$ で消去可能である。実際、連接層 $\mathcal F$ は $q > 0$ を十分大きくとると $\mathcal E = \mathcal O(-q)^{\oplus c}$ の商で、$i > 0$ について

$$T^i(\mathcal E) = H^i(P, \omega_P(q))^{\oplus c} = H^i(P, \mathcal O(q-n-1))^{\oplus c} = 0, \qquad S^i(\mathcal E) = \bigl(H^{n-i}(P, \mathcal O(-q))^\vee\bigr)^{\oplus c} = 0$$

である（前者は 命題 3.4 の 4 と $q - n - 1 > -n-1$、後者は $n - i < n$ と $-q < 0$ による。定理 5.1［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）。定理 4.4［導来関手と δ 関手］ を $\mathsf{Coh}(P)^{\mathrm{op}}$ に使うと $T$ と $S$ は普遍で、(2) の自然同型 $\theta\colon T^0 \to S^0$ は δ 関手の同型 $T \cong S$ にただ一通りに延びる（系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 1）。

∎

例 4.2（射影直線での双対を Čech コサイクルで見る）

$P = \mathbb P^1_k$、$\omega_P = \mathcal O(-2)$ とします。$H^1(P, \mathcal O(-2))$ は Čech コサイクル $(x_0x_1)^{-1}$ の類で生成され、$t$ はこの類を $1$ に写す写像にとれます。$\mathcal F = \mathcal O(-4)$ とすると、$\operatorname{Hom}(\mathcal O(-4), \mathcal O(-2)) = H^0(\mathcal O(2))$ の基底は $x_0^2, x_0x_1, x_1^2$、$H^1(\mathcal O(-4))$ の基底は $x_0^{-3}x_1^{-1}, x_0^{-2}x_1^{-2}, x_0^{-1}x_1^{-3}$ の類です。積が $(x_0x_1)^{-1}$ になる組は

$$x_0^2 \cdot x_0^{-3}x_1^{-1}, \qquad x_0x_1 \cdot x_0^{-2}x_1^{-2}, \qquad x_1^2 \cdot x_0^{-1}x_1^{-3}$$

の 3 つだけで、他の積は $x_0$ か $x_1$ の指数が $0$ 以上になって類が $0$ です。ペアリングの行列は単位行列で、$H^0(\mathcal O(2)) \cong H^1(\mathcal O(-4))^\vee$ が目で確かめられます。$t$ は Laurent 級数の「$(x_0x_1)^{-1}$ の係数を取り出す」操作で、複素解析の留数に当たるものです。

5. 双対化層

定義 5.1（双対化層とトレース写像）↗

$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の射影スキームとする。連接層 $\omega_X^\circ$ と線形写像 $t\colon H^n(X, \omega_X^\circ) \to k$ の組で、すべての連接層 $\mathcal F$ について

$$\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_X^\circ) \to H^n(X, \mathcal F)^\vee, \qquad \varphi \mapsto t \circ H^n(\varphi)$$

が同型になるものを、$X$ の双対化層とトレース写像という。

定理 4.1 により、$(\omega_P, t)$ は $\mathbb P^n_k$ の双対化層です。一般の $X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ では、$P$ の双対を Ext 層で $X$ に移します。以下、射影スキームを埋め込む射影空間 $\mathbb P^N_k$ は $N \ge 1$ のものをとります（$\mathbb P^0_k$ は $\mathbb P^1_k$ の閉点なので、こうしても一般性を失いません）。$\iota\colon X \to P$ を閉はめ込みとし、$X$ 上の層 $\mathcal F$ と $\iota_*\mathcal F$ を同じ記号で書きます。$\mathcal O_X = \mathcal O_P/\mathcal J_X$ 加群は、$\mathcal J_X$ で消える $\mathcal O_P$ 加群と同じものです。$\mathcal{E}xt^i_P(\mathcal O_X, \mathcal G)$ は第 1 変数を通して $\mathcal J_X$ で消えるので、$X$ 上の $\mathcal O_X$ 加群と見なせます。

次の二つの補題のねらいは、$X$ 上の Hom を $P$ 上の Ext に読み替えることです。まず Ext 層が余次元より小さい次数で消えることを示し、それを使って入射分解を途中で切り、最初に消えない位置 $r$ の Ext 層から $\operatorname{Hom}$ を取り出します。

補題 5.2（余次元より低い次数の Ext 層は消える）✓

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を $n$ 次元の閉部分スキーム、$r = N - n$ とする。$i < r$ について $\mathcal{E}xt^i_P(\mathcal O_X, \omega_P) = 0$ である。

証明（補題 5.2）

$\mathcal F^i = \mathcal{E}xt^i_P(\mathcal O_X, \omega_P)$ は連接層である（命題 3.5 の 3）。十分大きい $q$ で $\mathcal F^i(q)$ は大域切断で生成されるので（定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］）、十分大きい $q$ で $\Gamma(P, \mathcal F^i(q)) = 0$ を示せば $\mathcal F^i(q) = 0$、したがって $\mathcal F^i = 0$ である。命題 3.8、命題 3.4 の 4、定理 4.1 の 3 により、十分大きい $q$ で

$$\Gamma(P, \mathcal F^i(q)) \cong \operatorname{Ext}^i_P(\mathcal O_X, \omega_P(q)) \cong \operatorname{Ext}^i_P(\mathcal O_X(-q), \omega_P) \cong H^{N-i}(P, \mathcal O_X(-q))^\vee$$

である。$H^{N-i}(P, \mathcal O_X(-q)) = H^{N-i}(X, \mathcal O_X(-q))$（系 8.4［層コホモロジー］）で、$i < r$ なら $N - i > n = \dim X$ だから Grothendieck の消滅定理（定理 6.5［層コホモロジー］）により $0$ である。

∎

補題 5.3（X 上の Hom と P 上の Ext）✓

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を $n$ 次元の閉部分スキーム、$r = N - n$、$\omega_X^\circ = \mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \omega_P)$ とする。$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ について自然な同型

$$\operatorname{Hom}_X(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong \operatorname{Ext}^r_P(\mathcal F, \omega_P)$$

がある。

証明（補題 5.3）

$\omega_P$ の $\mathsf{Mod}(\mathcal O_P)$ での入射分解 $\mathcal I^\bullet$ をとり、$\mathcal K^i = \mathcal{H}om_P(\mathcal O_X, \mathcal I^i)$ とおく。$\mathcal K^i$ は $\mathcal I^i$ の切断のうち $\mathcal J_X$ で消えるものの部分層で、$\mathcal O_X$ 加群である。$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ からの射 $\mathcal F \to \mathcal I^i$ の像は $\mathcal J_X$ で消えるので $\mathcal K^i$ に入り、

$$\operatorname{Hom}_P(\mathcal F, \mathcal I^i) = \operatorname{Hom}_X(\mathcal F, \mathcal K^i)$$

である。左辺は $\mathcal F$ について完全だから、$\mathcal K^i$ は入射的な $\mathcal O_X$ 加群である。したがって $\operatorname{Ext}^i_P(\mathcal F, \omega_P) = H^i(\operatorname{Hom}_X(\mathcal F, \mathcal K^\bullet))$ で、複体 $\mathcal K^\bullet$ のコホモロジー層は定義により $\mathcal{E}xt^i_P(\mathcal O_X, \omega_P)$ である。

$\mathcal Z^i = \ker(\mathcal K^i \to \mathcal K^{i+1})$、$\mathcal B^i = \operatorname{im}(\mathcal K^{i-1} \to \mathcal K^i)$（$\mathcal B^0 = 0$）とおく。補題 5.2 により $i < r$ で $\mathcal Z^i = \mathcal B^i$、また $\mathcal Z^r/\mathcal B^r = \omega_X^\circ$ である。$0 \le i \le r$ について $\mathcal B^i$ が入射的であることを帰納法で示す。$\mathcal B^0 = 0$ はよい。$i < r$ で $\mathcal B^i$ が入射的なら、完全列 $0 \to \mathcal Z^i \to \mathcal K^i \to \mathcal B^{i+1} \to 0$ は $\mathcal Z^i = \mathcal B^i$ が入射的だから分裂し、$\mathcal B^{i+1}$ は入射的な $\mathcal K^i$ の直和因子として入射的である。

$\operatorname{Hom}_X(\mathcal F, -)$ は左完全だから、$\ker\bigl(\operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal K^r) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal K^{r+1})\bigr) = \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal Z^r)$ である。$r \ge 1$ のとき、$\mathcal K^{r-1} \to \mathcal B^r$ は分裂する全射だから $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal K^{r-1}) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal B^r)$ は全射で、$\operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal K^{r-1}) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal K^r)$ の像は $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal B^r)$ である（$r = 0$ では像も $\mathcal B^0$ も $0$）。$\mathcal B^r$ は入射的なので $\mathcal Z^r = \mathcal B^r \oplus \mathcal C$、$\mathcal C \cong \mathcal Z^r/\mathcal B^r = \omega_X^\circ$ と分裂し、

$$\operatorname{Ext}^r_P(\mathcal F, \omega_P) = \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal Z^r)/\operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal B^r) \cong \operatorname{Hom}_X(\mathcal F, \omega_X^\circ)$$

である。この同型は $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal Z^r) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal Z^r/\mathcal B^r)$ から誘導されるもので、分裂の取り方によらず、$\mathcal F$ について自然である。

∎

定理 5.4（双対化層の存在と一意性）✓

$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の射影スキームとする。

1. 閉はめ込み $X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ について、$r = N - n$ として $\omega_X^\circ = \mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \omega_P)$ は、あるトレース写像 $t$ とともに $X$ の双対化層である。とくに、連接層 $\mathcal F$ について $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong H^n(X, \mathcal F)^\vee$ である。
2. $(\omega^\circ, t)$ と $(\omega', t')$ がともに双対化層とトレース写像なら、同型 $\varphi\colon \omega' \to \omega^\circ$ で $t' = t \circ H^n(\varphi)$ となるものがただ一つある。

証明（定理 5.4）

(1) $\omega_X^\circ$ は連接である（命題 3.5 の 3）。連接層 $\mathcal F$ について、補題 5.3、定理 4.1 の 3、系 8.4［層コホモロジー］ により、$\mathcal F$ について自然な同型

$$\Theta_{\mathcal F}\colon \operatorname{Hom}_X(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong \operatorname{Ext}^r_P(\mathcal F, \omega_P) \cong H^{N-r}(P, \mathcal F)^\vee = H^n(X, \mathcal F)^\vee$$

がある。$t = \Theta_{\omega_X^\circ}(1) \in H^n(X, \omega_X^\circ)^\vee$ とおく。$\varphi\colon \mathcal F \to \omega_X^\circ$ について、$\Theta$ の自然性から $\Theta_{\mathcal F}(\varphi) = \Theta_{\mathcal F}(1 \circ \varphi) = \Theta_{\omega_X^\circ}(1) \circ H^n(\varphi) = t \circ H^n(\varphi)$ である。よって $(\omega_X^\circ, t)$ は双対化層とトレース写像である。

(2) $\omega'$ は連接だから、$\operatorname{Hom}(\omega', \omega^\circ) \cong H^n(X, \omega')^\vee$ のもとで $t'$ に対応する $\varphi\colon \omega' \to \omega^\circ$ がただ一つあり、$t \circ H^n(\varphi) = t'$ である。役割を入れ替えて、$t' \circ H^n(\psi) = t$ となる $\psi\colon \omega^\circ \to \omega'$ がただ一つある。$\varphi\psi\colon \omega^\circ \to \omega^\circ$ は $t \circ H^n(\varphi\psi) = t' \circ H^n(\psi) = t$ を満たし、恒等射も同じ式を満たすから、$\operatorname{Hom}(\omega^\circ, \omega^\circ) \cong H^n(X, \omega^\circ)^\vee$ の単射性により $\varphi\psi = 1$ である。同様に $\psi\varphi = 1$ である。

∎

双対化層は「関手 $\mathcal F \mapsto H^n(X, \mathcal F)^\vee$ を表現する対象」で、表現対象の一意性が 2 の内容です。したがって $\omega_X^\circ$ は射影空間への埋め込みの取り方によりません。

6. Serre 双対定理

$i > 0$ の双対 $\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee$ は、どんな射影スキームでも成り立つわけではありません。必要十分な条件は局所環の深さで書けます。

定義 6.1（Cohen–Macaulay スキーム・等次元）↗

Noether スキーム $X$ が Cohen–Macaulay であるとは、すべての局所環 $\mathcal O_{X,x}$ が Cohen–Macaulay 局所環（定義 3.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）であることをいう。命題 3.6［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ により、閉点の局所環で確かめれば十分である。$X$ のすべての既約成分の次元が $n$ のとき、$X$ は等次元 $n$ であるという。

次の補題は、Ext が消える次数の上限から射影次元の値を読み取るために、直後の補題で使います。

補題 6.2（射影次元の次数の Ext は消えない）✓

$(A, \mathfrak m)$ を Noether 局所環、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群で $p = \operatorname{pd}_A M$ が有限のものとする。$\operatorname{Ext}^p_A(M, A) \ne 0$ である。

証明（補題 6.2）

極小自由分解 $0 \to F_p \xrightarrow{d_p} F_{p-1} \to \cdots \to F_0 \to M \to 0$ をとる。長さは $p$ で $F_p \ne 0$、$p \ge 1$ なら $d_p(F_p) \subseteq \mathfrak mF_{p-1}$ である（命題 3.6［Tor・Ext と深さ］、定理 6.3［Tor・Ext と深さ］）。$p = 0$ なら $M$ は $0$ でない自由加群で $\operatorname{Hom}(M, A) \ne 0$ である。$p \ge 1$ とする。$\operatorname{Ext}^p_A(M, A)$ は $d_p^*\colon \operatorname{Hom}(F_{p-1}, A) \to \operatorname{Hom}(F_p, A)$ の余核である。$\psi \in \operatorname{Hom}(F_{p-1}, A)$ について $d_p^*\psi = \psi d_p$ の像は $\psi(\mathfrak mF_{p-1}) \subseteq \mathfrak m$ に入るので、$d_p^*\psi \in \mathfrak m\operatorname{Hom}(F_p, A)$ である。$\operatorname{Hom}(F_p, A)$ は $0$ でない有限階数の自由加群だから $\mathfrak m\operatorname{Hom}(F_p, A) \ne \operatorname{Hom}(F_p, A)$ で、余核は $0$ でない。

∎

次の補題は、Cohen–Macaulay 性をコホモロジーの消滅で言い換えます。証明の方針は、まず (♠) でコホモロジーの消滅を Ext 層の消滅に直し、次に Ext 層の茎を局所環の射影次元に結び付け、Auslander–Buchsbaum の公式で射影次元と深さを行き来する、というものです。

補題 6.3（Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅）✓

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を $n$ 次元の閉部分スキームとする。次は同値である。

1. $X$ は Cohen–Macaulay で等次元 $n$ である。
2. $X$ 上のすべての有限階数の局所自由層 $\mathcal E$ に対し、ある $q_0$ があって、$q \ge q_0$ と $i < n$ について $H^i(X, \mathcal E(-q)) = 0$ である。
3. ある $q_0$ があって、$q \ge q_0$ と $i < n$ について $H^i(X, \mathcal O_X(-q)) = 0$ である。

証明（補題 6.3）

$r = N - n$ とおく。まず、$X$ 上の連接層 $\mathcal F$ と $j \ge 0$ について次を示す。

(♠) 「十分大きいすべての $q$ で $H^{N-j}(X, \mathcal F(-q)) = 0$」は「$\mathcal{E}xt^j_P(\mathcal F, \omega_P) = 0$」と同値である。

定理 4.1 の 3、命題 3.4 の 4、命題 3.8 により、十分大きい $q$ で

$$H^{N-j}(X, \mathcal F(-q))^\vee \cong \operatorname{Ext}^j_P(\mathcal F(-q), \omega_P) \cong \operatorname{Ext}^j_P(\mathcal F, \omega_P(q)) \cong \Gamma\bigl(P, \mathcal{E}xt^j_P(\mathcal F, \omega_P)(q)\bigr)$$

である。連接層 $\mathcal{E}xt^j_P(\mathcal F, \omega_P)$ は、十分ねじると大域切断で生成されるので、「十分大きい $q$ で右辺が $0$」は「$\mathcal{E}xt^j_P(\mathcal F, \omega_P) = 0$」と同値である。

次に局所環を調べる。閉点 $x \in X$ について $A = \mathcal O_{P,x}$、$B = \mathcal O_{X,x}$ とおく。$A$ は多項式環 $k[y_1, \ldots, y_N]$ の極大イデアル $(y_1 - a_1, \ldots, y_N - a_N)$（系 4.3［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］）での局所化で、次元 $N$（素イデアルの鎖 $(y_1 - a_1) \subset (y_1 - a_1, y_2 - a_2) \subset \cdots$ と 定理 6.2［Krull 次元と単項イデアル定理］）、極大イデアルが $N$ 元で生成されるから正則局所環である（定義 6.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。よって $\operatorname{depth} A = N$ で、すべての有限生成 $A$ 加群の射影次元は有限である（定理 7.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。$B$ 加群 $M$ の正則列は、$\mathfrak m_A$ の元の列としても $\mathfrak m_B$ への像の列としても同じ条件だから、$\operatorname{depth}_A M = \operatorname{depth}_B M$ である。Auslander–Buchsbaum の公式（定理 9.1［Tor・Ext と深さ］）により

$$\operatorname{pd}_A B = N - \operatorname{depth} B$$

である。また $\omega_P$ は可逆だから、命題 3.5 の 3 により $\mathcal{E}xt^j_P(\mathcal F, \omega_P)_x \cong \operatorname{Ext}^j_A(\mathcal F_x, A)$ である。連接層は、すべての閉点での茎が $0$ なら $0$ である（台は閉集合で、空でない閉集合は閉点を含む）。

(1) ⇒ (2)。$X$ は等次元 $n$ だから、閉点 $x$ を通る既約成分 $Z$（被約構造で多様体）について $\dim\mathcal O_{Z,x} = \dim Z = n$（定理 2.4［次元・正規性・非特異性と微分の層］）で、$\dim B$ はその最大値だから $n$ である。$B$ は Cohen–Macaulay なので $\operatorname{depth} B = n$、$\operatorname{pd}_A B = N - n = r$ である。局所自由層 $\mathcal E$ の茎は $B^{\oplus c}$ で、$j > r$ なら $\operatorname{Ext}^j_A(B^{\oplus c}, A) = 0$ である（補題 6.2［Tor・Ext と深さ］）。よって $j > r$ で $\mathcal{E}xt^j_P(\mathcal E, \omega_P) = 0$ で、(♠) により、$i = N - j < n$ について十分大きい $q$ で $H^i(X, \mathcal E(-q)) = 0$ である。$i$ は有限個なので共通の $q_0$ がとれる。

(2) ⇒ (3) は $\mathcal E = \mathcal O_X$ の場合である。

(3) ⇒ (1)。(♠) により $j > r$ で $\mathcal{E}xt^j_P(\mathcal O_X, \omega_P) = 0$、したがって閉点 $x$ で $\operatorname{Ext}^j_A(B, A) = 0$（$j > r$）である。補題 6.2 により $\operatorname{pd}_A B \le r$ で、$\operatorname{depth} B = N - \operatorname{pd}_A B \ge N - r = n$ である。一方 $\operatorname{depth} B \le \dim B \le \dim X = n$ である（命題 7.9［Tor・Ext と深さ］）。よって $\operatorname{depth} B = \dim B = n$ で、$B$ は Cohen–Macaulay、すべての閉点で $\dim\mathcal O_{X,x} = n$ である。次元が $n$ より小さい既約成分 $Z$ があれば、他の成分に乗らない $Z$ の閉点 $x$ で $\dim\mathcal O_{X,x} = \dim\mathcal O_{Z,x} = \dim Z < n$ となって矛盾するから、$X$ は等次元である。

∎

定理 6.4（Serre 双対定理）✓

$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の射影スキーム、$(\omega_X^\circ, t)$ を双対化層とトレース写像とする。

1. 連接層の圏上の反変な δ 関手の射 $\theta^i\colon \operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X^\circ) \to H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee$（$i \ge 0$）で、$\theta^0$ が 定義 5.1 の同型 $\varphi \mapsto t \circ H^n(\varphi)$ であるものがただ一つある。
2. $X$ が Cohen–Macaulay で等次元 $n$ なら、すべての $i \ge 0$ とすべての連接層 $\mathcal F$ について $\theta^i$ は同型である： $$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee.$$
3. 2 の仮定のもとで、有限階数の局所自由層 $\mathcal E$ とすべての $i$ について $$H^i(X, \mathcal E) \cong H^{n-i}(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X^\circ)^\vee$$ である。

証明（定理 6.4）

閉はめ込み $X \subseteq \mathbb P^N_k$ を固定し、$\mathcal O_X(1)$ をその引き戻しとする。$T^i = \operatorname{Ext}^i(-, \omega_X^\circ)$、$S^i = H^{n-i}(X, -)^\vee$ とおく。$T$ は反変な δ 関手である（命題 3.4 の 3）。$n$ 次元の Noether 空間 $X$ では $H^{n+1}(X, -) = 0$ だから（定理 6.5［層コホモロジー］）、定理 4.1 の証明の (3) と同じく、長完全列の双対によって $S$ も反変な δ 関手である。

(1) Serre の消滅定理により、ある $q_1$ 以上の $q$ で $H^i(X, \omega_X^\circ(q)) = 0$（$i > 0$）である。連接層 $\mathcal F$ は、$q \ge q_1$ を十分大きくとると $\mathcal E = \mathcal O_X(-q)^{\oplus c}$ の商で（定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］）、$i > 0$ で $T^i(\mathcal E) = H^i(X, \omega_X^\circ(q))^{\oplus c} = 0$ である（命題 3.4 の 4）。よって $T^i$（$i > 0$）は消去可能で、$T$ は普遍である（定理 4.4［導来関手と δ 関手］）。普遍性の定義（定義 4.2［導来関手と δ 関手］）により、$\theta^0\colon T^0 \to S^0$ は δ 関手の射 $\theta\colon T \to S$ にただ一通りに延びる。

(2) 補題 6.3 の (1) ⇒ (3) により、ある $q_0$ 以上の $q$ で $H^{n-i}(X, \mathcal O_X(-q)) = 0$（$0 < i \le n$）である。(1) の $\mathcal E = \mathcal O_X(-q)^{\oplus c}$ を $q \ge q_0$ にとれば、$i > 0$ で $S^i(\mathcal E) = 0$（$i > n$ では $S^i = 0$）だから、$S^i$ も消去可能で $S$ は普遍である。$\theta^0$ は同型なので、系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 1 により $\theta$ は同型である。

(3) 命題 3.4 の 4 により $\operatorname{Ext}^i(\mathcal E, \omega_X^\circ) \cong H^i(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X^\circ)$ だから、(2) は $H^i(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X^\circ) \cong H^{n-i}(X, \mathcal E)^\vee$ を与える。$i$ を $n - i$ に替え、有限次元空間の二重双対をとれば主張を得る。

∎

例 6.5（Cohen–Macaulay でないと双対が崩れる）

$\mathbb P^4_k$ の中の 2 平面 $\Pi_1 = V_+(x_0, x_1)$、$\Pi_2 = V_+(x_2, x_3)$ の和集合 $X$（イデアル $I_1 \cap I_2$ の定める閉部分スキーム）を考えます。二つの平面は 1 点 $Q = (0:0:0:0:1)$ だけで交わり、$X$ は等次元 $2$ です。$I_1 + I_2 = (x_0, x_1, x_2, x_3)$ は $Q$ の斉次イデアルなので、完全列

$$0 \to \mathcal O_X \to \mathcal O_{\Pi_1} \oplus \mathcal O_{\Pi_2} \to \kappa(Q) \to 0$$

があります。$-q$（$q > 0$）だけねじってコホモロジーをとると、平面 $\Pi_j \cong \mathbb P^2$ では $H^0(\mathcal O(-q)) = 0 = H^1(\mathcal O(-q))$ だから、$H^1(X, \mathcal O_X(-q)) \cong H^0(\kappa(Q)) = k$ です。$i = 1 < 2 = n$ なのにどれだけねじっても消えないので、補題 6.3 により $X$ は Cohen–Macaulay ではありません（$Q$ での局所環の深さが $1$ です）。このとき $\theta^1\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X(-q), \omega_X^\circ) = H^1(X, \omega_X^\circ(q)) \to H^1(X, \mathcal O_X(-q))^\vee \cong k$ は、$q$ が大きいと左辺が Serre の消滅定理で $0$ になるので、同型ではありません。

7. 局所完全交叉と標準層

双対化層は $\mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \omega_P)$ という抽象的な形で得られました。$X$ が局所的に $r$ 本の式で「過不足なく」定義されているときは、Koszul 複体でこれを計算できます。

定義 7.1（局所完全交叉・余法層・法層）↗

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を閉部分スキーム、$\mathcal J$ をそのイデアル層とする。すべての閉点 $x \in X$ で $\mathcal J_x$ が $\mathcal O_{P,x}$ の長さ $r$ の正則列（定義 7.1［Tor・Ext と深さ］）で生成されるとき、$X$ は $P$ の中の余次元 $r$ の局所完全交叉であるという。$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal J/\mathcal J^2$ を余法層、その双対 $\mathcal N_{X/P} = (\mathcal J/\mathcal J^2)^\vee$ を法層という。

Koszul 複体 $K(f)$（定義 8.1［Tor・Ext と深さ］）は、基底 $e_S$ を $e_{s_1} \wedge \cdots \wedge e_{s_p}$ と同一視すると外積代数 $K_p(f) = \bigwedge^p A^r$ で、微分は $1$ 次形式 $\lambda_f\colon A^r \to A$、$e_i \mapsto f_i$ による縮約

$$d(v_1 \wedge \cdots \wedge v_p) = \sum_{j=1}^{p} (-1)^{j-1}\lambda_f(v_j)\, v_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{v_j} \wedge \cdots \wedge v_p$$

です（右辺は $v_1, \ldots, v_p$ について多重線形かつ交代的で、基底の上で定義式に一致します）。

補題 7.2（局所完全交叉の局所的な構造）✓

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を余次元 $r$ の局所完全交叉、$\mathcal J$ をイデアル層とする。閉点 $x \in X$ ごとに、$x$ の $P$ でのアフィン開近傍 $U = \operatorname{Spec} A$ と $f_1, \ldots, f_r \in A$ で次を満たすものがある（このような $(U, f)$ をよい座標と呼ぶ）。$I = \Gamma(U, \mathcal J)$ として、

1. $I = (f_1, \ldots, f_r)$ で、Koszul 複体 $K(f) \to A/I$ は $A/I$ の自由分解である。
2. $I/I^2$ は $f_1, \ldots, f_r$ の類を基底とする自由 $A/I$ 加群である。

したがって $\mathcal J/\mathcal J^2$ は $X$ 上の階数 $r$ の局所自由層である。また $X$ は Cohen–Macaulay で等次元 $N - r$ である。

証明（補題 7.2）

$\mathcal J_x$ を生成する正則列 $g_1, \ldots, g_r \in \mathcal O_{P,x}$ をとる。$x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} A'$ を小さくとって、$g_i$ が $f_i \in A'$ の像で、$f_1, \ldots, f_r$ が $I' = \Gamma(\operatorname{Spec} A', \mathcal J)$ を生成するとしてよい（有限生成イデアル $I'$ と $(f_1, \ldots, f_r)$ は $x$ での局所化が一致するので、ある主開集合の上で一致する）。Koszul ホモロジー $H_p(f; A')$（$1 \le p \le r$）は有限生成 $A'$ 加群で、局所化は完全だから、$x$ での局所化は $H_p(g; \mathcal O_{P,x})$ で、$g$ が正則列なので $0$ である（定理 8.3［Tor・Ext と深さ］）。よってある $h \in A'$（$h(x) \ne 0$）で $H_p(f; A'_h) = 0$（$1 \le p \le r$）となる。$A = A'_h$ とおけば、$H_0(f; A) = A/I$ と合わせて (1) が成り立つ。

(2) $f_i$ の類は $I/I^2$ を生成する。$\sum_i a_if_i \in I^2$ とすると、$b_i \in I$ によって $\sum_i a_if_i = \sum_i b_if_i$ と書け、$\sum_i (a_i - b_i)e_i \in \ker(d\colon K_1 \to K_0)$ である。$H_1(f; A) = 0$ だからこれは $d(K_2)$ に入り、$d(e_i \wedge e_j) = f_ie_j - f_je_i$ の係数は $I$ の元なので、$a_i - b_i \in I$、したがって $a_i \in I$ である。よって $f_i$ の類は $A/I$ 上 $1$ 次独立である。

閉点 $x$ で、$\mathcal O_{X,x} = \mathcal O_{P,x}/(g_1, \ldots, g_r)$ は、$N$ 次元の正則局所環 $\mathcal O_{P,x}$ を正則列で割ったものだから完全交叉局所環で、Cohen–Macaulay、次元 $N - r$ である（命題 6.7［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。すべての閉点で局所環の次元が $N - r$ なので、補題 6.3 の証明の最後と同じく、$X$ は等次元 $N - r$ である。

∎

次の定理の証明の方針は、$\mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \mathcal O_P)$ を Koszul 複体で局所的に計算して $\bigwedge^r$ 法層の双対と同一視し、座標の取り方によらないことを行列式で確かめて貼り合わせる、というものです。

定理 7.3（局所完全交叉の双対化層）✓

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を余次元 $r$ の局所完全交叉、$\mathcal J$ をイデアル層とする。

1. $X$ の双対化層は $$\omega_X^\circ \cong \omega_P|_X \otimes \bigl(\textstyle\bigwedge^r(\mathcal J/\mathcal J^2)\bigr)^\vee \cong \omega_P|_X \otimes \textstyle\bigwedge^r\mathcal N_{X/P}$$ である。とくに $\omega_X^\circ$ は可逆層である。
2. $X$ が $n$ 次元の非特異射影多様体なら、$X$ は余次元 $N - n$ の局所完全交叉で、$\omega_X^\circ \cong \omega_X = \bigwedge^n\Omega_{X/k}$ である。

証明（定理 7.3）

(1) 補題 7.2 により $\dim X = N - r$ で、定理 5.4 と 命題 3.4 の 4 により $\omega_X^\circ = \mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \omega_P) \cong \mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \mathcal O_P) \otimes \omega_P$ である。そこで同型 $\mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \mathcal O_P) \cong (\bigwedge^r(\mathcal J/\mathcal J^2))^\vee$ を作ればよい。

局所的な同型。 よい座標 $(U = \operatorname{Spec} A, f)$ をとる。命題 3.5 の 2 により、$U$ の上で $\mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \mathcal O_P)$ は加群 $\operatorname{Ext}^r_A(A/I, A)$ に伴う層で、自由分解 $K(f)$ を使うと

$$\operatorname{Ext}^r_A(A/I, A) = \operatorname{Coker}\bigl(d^*\colon \operatorname{Hom}(K_{r-1}(f), A) \to \operatorname{Hom}(K_r(f), A)\bigr)$$

である。$K_r(f)$ は $e_1 \wedge \cdots \wedge e_r$ を基底とする階数 $1$ の自由加群で、その双対基底を $\varepsilon_f$ とする。$\psi \in \operatorname{Hom}(K_{r-1}, A)$ について $(d^*\psi)(e_1 \wedge \cdots \wedge e_r) = \sum_j (-1)^{j-1}f_j\,\psi(e_1 \wedge \cdots \widehat{e_j} \cdots \wedge e_r)$ で、$\psi$ を動かすとこの値は $I$ の全体を動く。よって $\operatorname{Ext}^r_A(A/I, A) = (A/I)\cdot[\varepsilon_f]$ は階数 $1$ の自由 $A/I$ 加群である。一方 $\bigwedge^r(I/I^2)$ は $\bar f_1 \wedge \cdots \wedge \bar f_r$ を基底とする階数 $1$ の自由 $A/I$ 加群である（補題 7.2 の 2）。その双対基底を $\lambda_f$ とし、同型

$$\alpha_f\colon \operatorname{Ext}^r_A(A/I, A) \to \operatorname{Hom}_{A/I}\bigl(\textstyle\bigwedge^r(I/I^2), A/I\bigr), \qquad a[\varepsilon_f] \mapsto a\lambda_f$$

を定める。

生成系によらないこと。 $g_1, \ldots, g_r \in A$ も (1)(2) を満たす $I$ の生成系とする。$g_i = \sum_j c_{ij}f_j$ となる行列 $c = (c_{ij})$（$c_{ij} \in A$）をとり、$A^r \to A^r$、$e_i \mapsto \sum_j c_{ij}e_j$ も $c$ と書く。$\lambda_f(c(e_i)) = \sum_j c_{ij}f_j = g_i = \lambda_g(e_i)$ だから、縮約の式により $\bigwedge^p c\colon K_p(g) \to K_p(f)$ は微分と可換で、$p = 0$ では恒等写像である。すなわち $\bigwedge^\bullet c$ は $A/I$ の恒等写像を持ち上げる鎖写像で、二つの自由分解で計算した $\operatorname{Ext}^r_A(A/I, A)$ の間の標準的な同一視はこの鎖写像から誘導される（系 4.2［Tor・Ext と深さ］）。$\bigwedge^r c$ は $\det c$ の掛け算だから、$\operatorname{Ext}^r_A(A/I, A)$ の中で

$$[\varepsilon_f] = [\varepsilon_f \circ \textstyle\bigwedge^r c] = \det(c)\,[\varepsilon_g]$$

である。また $I/I^2$ の中で $\bar g_i = \sum_j \bar c_{ij}\bar f_j$ だから $\bar g_1 \wedge \cdots \wedge \bar g_r = \det(\bar c)\,\bar f_1 \wedge \cdots \wedge \bar f_r$ で、双対基底について $\lambda_f = \det(\bar c)\lambda_g$ である。したがって $\alpha_g([\varepsilon_f]) = \det(\bar c)\lambda_g = \lambda_f = \alpha_f([\varepsilon_f])$、すなわち $\alpha_f = \alpha_g$ である。

貼り合わせ。 よい座標 $(U, f)$ と $(U', f')$ について、$U \cap U'$ に含まれるアフィン開集合 $W$ に制限すると、$f$ と $f'$ はどちらも $W$ の上で (1)(2) を満たす（完全な層の複体の制限は完全で、アフィン開集合の上の大域切断は準連接層の完全列を保つ）。上で示したことから $\alpha_f$ と $\alpha_{f'}$ は $W$ の上で一致する。よい座標は $X$ を覆うので、$\alpha_f$ は貼り合わさって $X$ 上の層の同型 $\mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_X, \mathcal O_P) \cong (\bigwedge^r(\mathcal J/\mathcal J^2))^\vee$ を与える。

階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal E$ について、$\bigwedge^r(\mathcal E^\vee) \to (\bigwedge^r\mathcal E)^\vee$、$\varphi_1 \wedge \cdots \wedge \varphi_r \mapsto (v_1 \wedge \cdots \wedge v_r \mapsto \det(\varphi_i(v_j)))$ は、局所的な基底とその双対基底について生成元を生成元に写すので同型である。$\mathcal E = \mathcal J/\mathcal J^2$ として $(\bigwedge^r(\mathcal J/\mathcal J^2))^\vee \cong \bigwedge^r\mathcal N_{X/P}$ を得る。

(2) $X$ を非特異射影多様体、$\dim X = n$、$r = N - n$ とする。$X$ は非特異多様体 $P$ の非特異な既約閉部分多様体だから、イデアル層 $\mathcal J$ は局所的に $r$ 個の元で生成され、$\omega_X \cong \omega_P|_X \otimes \bigwedge^r\mathcal N_{X/P}$ である（定理 9.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］）。閉点 $x$ で、$\mathcal J_x$ の $r$ 個の生成元 $g_1, \ldots, g_r$ は、$N$ 次元の Cohen–Macaulay 局所環 $\mathcal O_{P,x}$（系 6.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）の極大イデアルの元で、$\dim\mathcal O_{P,x}/(g_1, \ldots, g_r) = \dim\mathcal O_{X,x} = n = N - r$（定理 2.4［次元・正規性・非特異性と微分の層］）だから正則列である（定理 3.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ の 2）。よって $X$ は余次元 $r$ の局所完全交叉で、(1) により $\omega_X^\circ \cong \omega_P|_X \otimes \bigwedge^r\mathcal N_{X/P} \cong \omega_X$ である。

∎

系 7.4（非特異射影多様体の Serre 双対）✓

$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の非特異射影多様体、$\Omega^p = \bigwedge^p\Omega_{X/k}$、$\omega_X = \Omega^n$ とする。

1. 連接層 $\mathcal F$ について $\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X) \cong H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee$、有限階数の局所自由層 $\mathcal E$ について $H^i(X, \mathcal E) \cong H^{n-i}(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X)^\vee$ である。
2. $H^n(X, \omega_X) \cong k$ である。
3. $H^i(X, \Omega^p) \cong H^{n-i}(X, \Omega^{n-p})^\vee$ である。
4. $n = 1$ のとき $H^1(X, \mathcal O_X) \cong H^0(X, \omega_X)^\vee$ で、算術種数 $p_a(X) = \dim H^1(X, \mathcal O_X)$ と幾何種数 $p_g(X) = \dim H^0(X, \omega_X)$ は等しい。

証明（系 7.4）

(1) 定理 7.3 の 2 により $X$ は局所完全交叉で $\omega_X^\circ \cong \omega_X$、補題 7.2 により Cohen–Macaulay で等次元 $n$ だから、定理 6.4 による。

(2) (1) で $\mathcal F = \omega_X$、$i = 0$ とすると $H^n(X, \omega_X)^\vee \cong \operatorname{Hom}(\omega_X, \omega_X) \cong \Gamma(X, \omega_X^\vee \otimes \omega_X) = \Gamma(X, \mathcal O_X) = k$ である（定理 8.3［分離射・固有射と付値判定法］）。

(3) $\Omega = \Omega_{X/k}$ は階数 $n$ の局所自由層である（定理 7.3［次元・正規性・非特異性と微分の層］）。外積 $\Omega^p \otimes \Omega^{n-p} \to \Omega^n$ は射 $\Omega^{n-p} \to \mathcal{H}om(\Omega^p, \omega_X) \cong (\Omega^p)^\vee \otimes \omega_X$ を与える。$\Omega$ の局所的な基底 $e_1, \ldots, e_n$ について、$\Omega^{n-p}$ の基底 $e_T$（$|T| = n - p$）は、$\Omega^p$ の基底 $e_S$ を $S$ が $T$ の補集合のとき $\pm e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$、そうでないとき $0$ に写すので、この射は基底を双対基底の $\pm 1$ 倍に写す同型である。(1) を $\mathcal E = \Omega^p$ に使えばよい。

(4) (3) で $n = 1$、$p = 0$、$i = 1$ とする。$H^0(X, \mathcal O_X) = k$ だから $p_a(X) = 1 - \chi(\mathcal O_X) = \dim H^1(X, \mathcal O_X)$（定義 7.7［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）で、これは $\dim H^0(X, \omega_X)$ に等しい。

∎

例 7.5（平面曲線の双対化層と種数）

$X = V_+(f) \subset \mathbb P^2_k$ を $d$ 次の平面曲線（特異点があってもよい）とします。イデアル層は $f\colon \mathcal O(-d) \to \mathcal O$ の像で、局所的に零因子でない 1 元で生成されるので、$X$ は余次元 $1$ の局所完全交叉です。$\mathcal J/\mathcal J^2 = \mathcal J \otimes \mathcal O_X \cong \mathcal O_X(-d)$、$\mathcal N_{X/\mathbb P^2} \cong \mathcal O_X(d)$ で、定理 7.3 により

$$\omega_X^\circ \cong \mathcal O_{\mathbb P^2}(-3)|_X \otimes \mathcal O_X(d) = \mathcal O_X(d - 3)$$

です。完全列 $0 \to \mathcal O(-3) \to \mathcal O(d-3) \to \mathcal O_X(d-3) \to 0$ と $H^0(\mathcal O(-3)) = 0 = H^1(\mathcal O(-3))$ から $H^0(X, \omega_X^\circ) \cong H^0(\mathbb P^2, \mathcal O(d-3))$ で、次元は $\binom{d-1}{2} = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ です。Serre 双対により、これは $\dim H^1(X, \mathcal O_X)$ に等しく、Hilbert 多項式から求めた算術種数（系 7.8［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］）と一致します。非特異な $3$ 次曲線では $\omega_X \cong \mathcal O_X$、種数は $1$ です。

例 7.6（完全交叉の標準層と 4 次曲面）

斉次式 $f_1, \ldots, f_r$（次数 $d_1, \ldots, d_r$）が $k[x_0, \ldots, x_N]$ の正則列で、$X = V_+(f_1, \ldots, f_r)$ とします。$r \le N$ とします。Hilbert 多項式の計算（系 7.8［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］ の 3 の証明の漸化式 $P_X(n) = P_{X'}(n) - P_{X'}(n - d_r)$。最高次の係数が正の多項式を $d_r \ge 1$ だけずらして引くと、次数はちょうど $1$ 下がり最高次の係数は正のままなので、$\deg P_X = N - r$）と 定理 7.6［Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー］ の 4 から $\dim X = N - r$ で、各閉点で $r$ 個の元 $f_i/x_j^{d_i}$ が $\mathcal J_x$ を生成し、商の次元が $N - r$ 以下、単項イデアル定理から $N - r$ 以上なので、これらは Cohen–Macaulay 局所環 $\mathcal O_{P,x}$ の正則列です。全射 $\bigoplus_i \mathcal O(-d_i) \to \mathcal J$ は $X$ 上で階数 $r$ の局所自由層の間の全射 $\bigoplus_i \mathcal O_X(-d_i) \to \mathcal J/\mathcal J^2$ を与え、これは同型です。よって $\bigwedge^r\mathcal N_{X/P} \cong \mathcal O_X(\sum d_i)$ で

$$\omega_X^\circ \cong \mathcal O_X\Bigl(\sum_i d_i - N - 1\Bigr)$$

です。$\mathbb P^3$ の $4$ 次曲面では $\omega_X^\circ \cong \mathcal O_X$ です。このとき $0 \to \mathcal O(-4) \to \mathcal O \to \mathcal O_X \to 0$ から $H^1(X, \mathcal O_X) = 0$（$H^1(\mathcal O) = 0 = H^2(\mathcal O(-4))$）、$H^2(X, \mathcal O_X) \cong H^3(\mathbb P^3, \mathcal O(-4)) \cong k$ で、後者は $H^0(X, \omega_X^\circ) = H^0(X, \mathcal O_X) = k$ の双対になっています。非特異な $4$ 次曲面は K3 曲面と呼ばれる曲面の例です。

8. 演習

演習 8.1標準

$P = \mathbb P^n_k$、$x$ を閉点、$\kappa(x)$ を $x$ に台をもつ摩天楼層とする。$\mathcal{E}xt^i_P(\kappa(x), \mathcal O_P)$ をすべての $i$ について求め、定理 4.1 と整合することを確かめよ。

解答

$\kappa(x)$ は連接で $x$ の外で $0$ だから、$\mathcal{E}xt^i$ も $x$ の外で $0$ で、$x$ での茎は $\operatorname{Ext}^i_A(k, A)$（$A = \mathcal O_{P,x}$）です（命題 3.5 の 3）。$A$ は $n$ 次元の正則局所環で、正則パラメータ系 $y_1, \ldots, y_n$ は正則列（系 6.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、$K(y)$ は $k = A/(y)$ の長さ $n$ の自由分解です。$\operatorname{depth} A = n$ だから $i < n$ で $\operatorname{Ext}^i_A(k, A) = 0$（定理 7.4［Tor・Ext と深さ］）、分解の長さから $i > n$ でも $0$ です。$i = n$ では 定理 7.3 の証明の計算のとおり $\operatorname{Ext}^n_A(k, A) = A/(y_1, \ldots, y_n) = k$ です。よって $\mathcal{E}xt^i_P(\kappa(x), \mathcal O_P)$ は $i = n$ のとき $\kappa(x)$、それ以外で $0$ です。

$\omega_P$ は可逆なので $\mathcal{E}xt^i_P(\kappa(x), \omega_P)$ も同じです。定理 3.6 のスペクトル系列は $q = n$ の行だけに集中し、摩天楼層の高次コホモロジーは $0$ だから $\operatorname{Ext}^n(\kappa(x), \omega_P) \cong H^0(P, \kappa(x)) = k$、他の $\operatorname{Ext}^i$ は $0$ です。双対定理の側は $H^{n-i}(P, \kappa(x))^\vee$ で、$i = n$ のとき $k$、それ以外で $0$ となり、一致します。

演習 8.2標準

$X \subset \mathbb P^3_k$ を次数 $d_1, d_2$ の斉次式の正則列で定義される完全交叉曲線とする。(a) $H^0(X, \mathcal O_X) = k$ を示せ。(b) $p_a(X) = \dim H^0(X, \mathcal O_X(d_1 + d_2 - 4))$ を示し、$(d_1, d_2) = (2, 2), (2, 3)$ の場合に値を求めよ。

解答

(a) Koszul 複体を層にした完全列 $0 \to \mathcal O(-d_1-d_2) \to \mathcal O(-d_1) \oplus \mathcal O(-d_2) \to \mathcal J \to 0$ があります。$\mathbb P^3$ 上で $H^1(\mathcal O(m)) = H^2(\mathcal O(m)) = 0$ だから、どのねじり $m$ についても $H^1(\mathbb P^3, \mathcal J(m)) = 0$ です。$0 \to \mathcal J \to \mathcal O \to \mathcal O_X \to 0$ から $H^0(\mathcal O) = k \to H^0(\mathcal O_X)$ は全射で、$\mathcal J \ne \mathcal O$ だから単射でもあり、$H^0(X, \mathcal O_X) = k$ です。

(b) 例 7.6 により $\omega_X^\circ \cong \mathcal O_X(d_1 + d_2 - 4)$ で、$X$ は Cohen–Macaulay で等次元 $1$ だから、Serre 双対（定理 6.4 の 3）により $H^1(X, \mathcal O_X) \cong H^0(X, \omega_X^\circ)^\vee$ です。(a) から $p_a(X) = \dim H^1(X, \mathcal O_X) = \dim H^0(X, \mathcal O_X(d_1 + d_2 - 4))$ です。$(2, 2)$ では $\omega_X^\circ \cong \mathcal O_X$ で $p_a = 1$ です。$(2, 3)$ では $\omega_X^\circ \cong \mathcal O_X(1)$ で、(a) の議論を $m = 1$ で使うと $H^0(\mathcal J(1)) = 0 = H^1(\mathcal J(1))$（$H^0(\mathcal O(-1) \oplus \mathcal O(-2)) = 0$）だから $H^0(X, \mathcal O_X(1)) \cong H^0(\mathbb P^3, \mathcal O(1))$ は $4$ 次元、$p_a = 4$ です。どちらも前章の公式 $\frac{1}{2}d_1d_2(d_1 + d_2 - 4) + 1$ と一致します。

演習 8.3標準

$X$ を $n$ 次元の非特異射影多様体、$\mathcal L$ を豊富な可逆層とする。十分大きい $q$ と $i < n$ について $H^i(X, \mathcal L^{-q}) = 0$ を示せ。

解答

系 7.4 の 1 を $\mathcal E = \mathcal L^{-q}$ に使うと $H^i(X, \mathcal L^{-q}) \cong H^{n-i}(X, \mathcal L^q \otimes \omega_X)^\vee$ です。$X$ は $k$ 上固有で $\mathcal L$ は豊富だから、連接層 $\omega_X$ について、十分大きい $q$ と $j > 0$ で $H^j(X, \omega_X \otimes \mathcal L^q) = 0$ です（定理 6.4［因子と直線束］ の 2）。$i < n$ なら $j = n - i > 0$ なので主張が従います。「負の直線束は中間次元以下のコホモロジーをもたない」という形の消滅で、補題 6.3 の条件 2 を、埋め込みを与える $\mathcal O_X(1)$ から任意の豊富な層に広げたものです。

演習 8.4易

$X$ を $n$ 次元の射影スキーム、$(\omega^\circ, t)$ を双対化層とトレース写像とする。$t'\colon H^n(X, \omega^\circ) \to k$ について、$(\omega^\circ, t')$ も双対化層とトレース写像であることは、$\omega^\circ$ のある自己同型 $u$ によって $t' = t \circ H^n(u)$ と書けることと同値であることを示せ。$X$ が非特異射影多様体のとき、トレース写像は $0$ でない定数倍を除いて一意であることを示せ。

解答

$(\omega^\circ, t')$ が双対化層なら、定理 5.4 の 2 により同型 $u\colon \omega^\circ \to \omega^\circ$ で $t' = t \circ H^n(u)$ となるものがあります。逆に自己同型 $u$ について $t' = t \circ H^n(u)$ とすると、$\varphi \mapsto t' \circ H^n(\varphi) = t \circ H^n(u\varphi)$ は、同型 $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega^\circ) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega^\circ)$、$\varphi \mapsto u\varphi$ と $t$ による同型の合成なので同型です。非特異射影多様体では $\omega^\circ \cong \omega_X$ は可逆で、自己同型は $\Gamma(X, \mathcal O_X^*) = k^\times$ の元の掛け算だから、$t' = ct$（$c \in k^\times$）です。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter III §6、§7。
• J.-P. Serre, “Un théorème de dualité”, Commentarii Mathematici Helvetici 29 (1955), 9–26 — 双対定理の原論文（複素多様体の場合）。
• A. Grothendieck, “Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents”, Séminaire Bourbaki, exposé 149 (1957) — 代数的な双対定理と双対化層。
• A. Altman, S. Kleiman, Introduction to Grothendieck Duality Theory, Lecture Notes in Mathematics 146, Springer, 1970 — 射影スキームの双対の詳しい扱い。
• W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings, Cambridge University Press, 1993 — 第 1 章（正則列・Koszul 複体）、第 3 章（標準加群）。