Ext 群・Ext 層

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、$\mathcal F$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。$\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ は十分に入射対象をもつ（定理 8.2［層］）。左完全関手 $\operatorname{Hom}(\mathcal F, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Ab}$ と $\mathcal{H}om(\mathcal F, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal O_X) \to \mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ の第 $i$ 右導来関手を、それぞれ

と書き、Ext 群、Ext 層という。$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal G)$ は 定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1 の意味の $\operatorname{Ext}^i_{\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)}(\mathcal F, \mathcal G)$ である。空間を明示するときは $\operatorname{Ext}^i_X$、$\mathcal{E}xt^i_X$ と書く。