層：茎・層化・順像と逆像

0. この記事の要点

関数を「どの範囲で定義するか」ごとに集めると、小さな範囲で定義された関数をつなぎ合わせて、広い範囲の関数が作れる場合があります。たとえば、重なる部分で値が一致する 2 つの区間上の関数は、1 つの関数にまとまります。この「局所の情報が全体を決め、つなぎ合わせられる」という性質を取り出して定式化したものが層です。この記事では、層を点ごとに調べる方法（茎）、前層から層を作る方法（層化）、層をまとめて扱う圏の性質、写像による層の移し方を順に説明します。これらは層のコホモロジーを定義するための準備になります。

• 前層は、開集合 $U$ ごとに Abel 群 $\mathcal{F}(U)$ と制限写像を与えたものです。層は、局所的に一致する切断は等しく、重なりで一致する切断の族は貼り合わせられる、という 2 条件を満たす前層です。
• 点 $x$ の近傍での切断の同値類（芽）の全体を茎 $\mathcal{F}_x$ といいます。層の射が同型であることは、すべての茎で同型であることと同値です。単射も茎で判定できますが、茎での全射は「局所的に持ち上がる」ことしか意味しません。
• どの前層 $\mathcal{F}$ にも層化 $\mathcal{F}^+$ があり、茎は変わらず、層への射は $\mathcal{F}^+$ をただ一通りに経由します。層化は包含関手の左随伴（前層 $\mathcal{F}$ から層 $\mathcal{G}$ への射と、層化 $\mathcal{F}^+$ から $\mathcal{G}$ への射が自然に一対一に対応する、という関係）で、完全です。開基（開集合を作るもとになる、基本的な開集合の族）の上だけで与えた層も、同じ構成で層に一意に延長できます。
• Abel 群の層の圏 $\mathsf{Ab}(X)$ と $\mathcal{O}_X$ 加群の圏 $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$はアーベル圏で、列の完全性は茎ごとの完全性と同値です。さらに生成子（圏のすべての対象を「調べる」ための対象）をもつ Grothendieck 圏で、十分に入射対象をもちます。
• 連続写像 $f$ について、逆像 $f^{-1}$ は順像 $f_*$ の左随伴で、$f^{-1}$ は完全、$f_*$ と大域切断関手 $\Gamma$ は左完全です。開集合 $U$ と補集合 $Z$ について、$0 \to j_!(\mathcal{F}|_U) \to \mathcal{F} \to i_*(\mathcal{F}|_Z) \to 0$ は完全です。
• 開被覆の上の層は、重なりでの同型がコサイクル条件（3 つの開集合の重なりで、同型を順に合成した結果が直接の同型と一致するという条件）を満たせば、全体の層に貼り合わせられます。

この記事で使う事前知識

• 随伴: 2 つの関手 $F, G$ の間の、$\operatorname{Hom}(F(A), B) \cong \operatorname{Hom}(A, G(B))$ という自然な対応。→ 随伴
• 順極限: 有向な添字の上で、値を「十分先」で同一視してまとめる極限。茎の定義に使います。→ 順極限
• 等化子: 2 つの射が等しくなる部分をまとめた極限。層の 2 条件はこの形に書けます。→ 等化子
• mono・epi: 圏の中での単射・全射にあたる射で、左（右）から約分できる射。→ mono・epi
• 入射対象: 単射を経由して延ばせる対象で、層のコホモロジーを定義するときに使います。→ 入射対象

1. 動機

記事 アフィン代数多様体と座標環 では、多様体の開集合 $U$ ごとに正則関数の環 $\mathcal{O}(U)$ を考えました。正則関数は「各点の近傍で多項式の商に書ける関数」で、この定義から次の 2 つが従います。

1. 開集合を小さい開集合で覆ったとき、関数はそれぞれの上への制限で決まる。
2. 小さい開集合の上の正則関数が重なりで一致していれば、貼り合わせた関数も正則である。

連続関数、微分可能な関数、複素平面の正則関数、微分形式も同じ性質をもちます。この「局所的なデータが大域的なデータを決め、貼り合わせられる」という性質だけを取り出したものが層です。

層の言葉が必要になる理由は 2 つあります。一つは、空間の定義そのものです。スキームは「位相空間と、その上の環の層の組」として定義され、点の集合だけでは決まりません（記事 アフィンスキームとスキーム）。もう一つは、局所から大域への障害を測ることです。複素平面から原点を除いた領域で、$0$ にならない正則関数 $g$ は各点の近傍では $g = e^h$ と書けますが、領域全体では書けるとは限りません（$g = z$ がその例です）。指数写像は「茎では全射だが大域切断では全射でない」層の射で、このずれを測るのが層のコホモロジーです。コホモロジーを大域切断関手の右導来関手として定義するには、層の圏がアーベル圏で十分に入射対象をもつことが必要で、この記事でそこまでを証明します。

この記事で証明することと、その使い道は次のとおりです。

定理	使い道
茎による同型の判定	層の射の性質を、点ごとの環・加群の性質に帰着させる
層化	余核、像、逆像、テンソル積など「前層としては作れるが層にならない」構成を層にする
開基の上の層の延長	$\operatorname{Spec} A$ の構造層を主開集合 $D(f)$ の上の $A_f$ から作る
アーベル圏、Grothendieck 圏	層のコホモロジーの定義（代数幾何 II）、Dolbeault の定理（複素幾何）
順像と逆像の随伴	スキームの射、準連接層の引き戻し
貼り合わせ	スキームと射の貼り合わせ、直線束の構成

圏論の用語（極限、随伴、アーベル圏、Grothendieck 圏）は、記事 極限と余極限、随伴関手、加法圏とアーベル圏、射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 のものを使います。環はすべて単位元をもつ可換環です。

2. 前層と層

定義 2.1（位相空間上の前層）↗

$X$ を位相空間とし、$X$ の開集合を対象、包含 $V \subseteq U$ を射 $V \to U$ とする圏を $\mathsf{Open}(X)$ と書く。関手 $\mathcal{F}\colon \mathsf{Open}(X)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ を $X$ 上の Abel 群の前層という（集合値の場合は 定義 2.1［米田の補題と表現可能関手］ の前層）。すなわち前層は

• 開集合 $U$ ごとの Abel 群 $\mathcal{F}(U)$、
• 包含 $V \subseteq U$ ごとの準同型 $\rho^U_V\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$（制限写像）

からなり、$\rho^U_U = \mathrm{id}$、$W \subseteq V \subseteq U$ について $\rho^V_W \circ \rho^U_V = \rho^U_W$ を満たす。$\mathcal{F}(U)$ の元を $U$ 上の切断といい、$\rho^U_V(s)$ を $s|_V$ と書く。$\mathcal{F}(U)$ を $\Gamma(U, \mathcal{F})$ とも書き、$\Gamma(X, \mathcal{F})$ の元を大域切断という。

前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ とは自然変換、すなわち準同型の族 $\varphi_U\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ で $\varphi_V(s|_V) = \varphi_U(s)|_V$ を満たすものをいう。Abel 群の前層の圏を $\mathsf{PAb}(X)$ と書く。$\mathsf{Ab}$ を集合の圏、環の圏に取り替えたものを集合の前層、環の前層という。

定義 2.2（層）↗

$X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ が層であるとは、任意の開集合 $U$ とその任意の開被覆 $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ について次の 2 条件が成り立つことをいう。

• （局所性）$s, t \in \mathcal{F}(U)$ がすべての $i$ で $s|_{U_i} = t|_{U_i}$ を満たせば、$s = t$。
• （貼り合わせ）$s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ の族がすべての $i, j$ で $s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$ を満たせば、すべての $i$ で $s|_{U_i} = s_i$ となる $s \in \mathcal{F}(U)$ が存在する。

2 条件をあわせると、図式

$$\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod_{i} \mathcal{F}(U_i) \rightrightarrows \prod_{i, j} \mathcal{F}(U_i \cap U_j)$$

が等化子（定義 2.4［極限と余極限］）である、ということになる。ここで左の射は $s \mapsto (s|_{U_i})_i$、右の 2 本は $(s_i)_i \mapsto (s_i|_{U_i \cap U_j})_{i,j}$ と $(s_i)_i \mapsto (s_j|_{U_i \cap U_j})_{i,j}$ である。層の間の射は前層としての射とし、Abel 群の層の圏を $\mathsf{Ab}(X)$ と書く。これは $\mathsf{PAb}(X)$ の充満部分圏である。

$U = \varnothing$ は添字集合が空の族で覆われます。空の積は $1$ 点（Abel 群なら $0$）なので、局所性から $\mathcal{F}(\varnothing) = 0$ です。Abel 群の前層では、局所性は「すべての $i$ で $s|_{U_i} = 0$ なら $s = 0$」と同値です（$s - t$ に使う）。

加群の層を、Abel 群の層と同時に扱えるように定義しておきます。

定義 2.3（環付き空間・加群の層）↗

1. $\mathcal{O}$ を $X$ 上の環の前層とする。$\mathcal{O}$ 加群の前層とは、Abel 群の前層 $\mathcal{F}$ で、各 $\mathcal{F}(U)$ に $\mathcal{O}(U)$ 加群の構造が与えられ、$a \in \mathcal{O}(U)$、$s \in \mathcal{F}(U)$、$V \subseteq U$ について $(as)|_V = a|_V \cdot s|_V$ となるものをいう。それが層のとき $\mathcal{O}$ 加群の層（または単に $\mathcal{O}$ 加群）という。射は、各 $\varphi_U$ が $\mathcal{O}(U)$ 線形である前層の射とする。$\mathcal{O}$ 加群の層の圏を $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ と書く。
2. 位相空間 $X$ と $X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ の組 $(X, \mathcal{O}_X)$ を環付き空間といい、$\mathcal{O}_X$ を構造層という。

$\mathcal{O}$ として、すべての開集合に $\mathbb{Z}$ を、すべての制限写像に恒等写像を対応させる環の前層を取ると、$\mathcal{O}$ 加群の層は Abel 群の層と同じものである。したがって $\mathsf{Ab}(X)$ と、環付き空間の $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ は、どちらも $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ の特別な場合である。以下、とくに断らなければ $\mathcal{O}$ は $X$ 上の環の前層を表す。

例 2.4（連続関数の層と定数前層）

(1) 位相空間 $X$ の開集合 $U$ に、$U$ 上の実数値連続関数の環 $C(U)$ を対応させ、制限写像を関数の制限とすると、環の層 $C_X$ になります。局所性は、関数が各点の値で決まることから、貼り合わせは、重なりで一致する関数の族が一つの関数を定め、連続性が各点の近傍で決まる性質であることから従います。$(X, C_X)$ は環付き空間です。

(2) Abel 群 $M \ne 0$ について、すべての空でない開集合に $M$ を、空集合に $0$ を対応させ、空でない開集合の間の制限写像を恒等写像とする前層を定数前層といいます。$X$ が交わらない空でない開集合 $U_1, U_2$ をもてば、これは層ではありません。$m_1 \ne m_2$ を取ると、$U_1 \cap U_2 = \varnothing$ なので $s_1 = m_1 \in \mathcal{F}(U_1)$、$s_2 = m_2 \in \mathcal{F}(U_2)$ は重なりで一致しますが、$U_1 \cup U_2$ 上の切断 $m \in M$ で $m = m_1$ かつ $m = m_2$ となるものはありません。

(3) $M$ に離散位相を入れ、$U$ に連続写像 $U \to M$（局所定数関数）の全体を対応させると、(1) と同じ理由で層になります。これを定数層といい $M_X$ と書きます。演習 10.1 で、これが定数前層の層化であることを確かめます。

3. 茎と芽

定義 3.1（茎・芽）↗

$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層、$x \in X$ とする。$x$ を含む開集合の全体は、逆向きの包含を順序として有向集合をなす（$U, V$ に対し $U \cap V$ が上界）。その上の順極限（定義 6.1［極限と余極限］）

$$\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U \ni x} \mathcal{F}(U)$$

を $\mathcal{F}$ の $x$ での茎という。命題 6.3［極限と余極限］ と 系 6.5［極限と余極限］ の (1) により、$\mathcal{F}_x$ の元は組 $(U, s)$（$x \in U$、$s \in \mathcal{F}(U)$）の同値類で、$(U, s)$ と $(V, t)$ が同値であるのは、$x$ を含む開集合 $W \subseteq U \cap V$ で $s|_W = t|_W$ となるものがあるときである。$(U, s)$ の類を $s_x$ と書き、$s$ の $x$ での芽という。演算は $s_x + t_x = (s|_W + t|_W)_x$ で定まる。

$\mathcal{O}$ が環の前層なら $\mathcal{O}_x$ は環で、$\mathcal{O}$ 加群の前層 $\mathcal{F}$ の茎 $\mathcal{F}_x$ は $a_x s_x = (a|_W s|_W)_x$ により $\mathcal{O}_x$ 加群になる。前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ は $\varphi_x(s_x) = (\varphi_U(s))_x$ により準同型 $\varphi_x\colon \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x$ を定め、$(\psi\varphi)_x = \psi_x\varphi_x$ である。

芽。U 上の切断 s と V 上の切断 t は、x のある近傍 W の上で一致すれば、同じ芽 s_x = t_x を定める。W の外での違いは茎には残らない。

次の命題は、層の射が単射・全射・同型であることを、点ごとの茎で確かめられるようにするものです。ただし全射だけは、茎での全射が「各点の近くでは持ち上がる」ことしか意味しません。点ごとに別々の持ち上げが取れても、それらが重なりで一致するとは限らないので、全体の切断には貼り合わせられないことがあります。1 節の、原点を除いた平面で $z$ が $e^h$ の形に書けない例がこの状況です。

命題 3.2（茎による単射・全射・同型の判定）✓

$\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ を $X$ 上の層（Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）の射とする。

1. すべての開集合 $U$ で $\varphi_U$ が単射であることと、すべての点 $x$ で $\varphi_x$ が単射であることは同値である。
2. すべての点 $x$ で $\varphi_x$ が全射であることと、次の条件は同値である: 任意の開集合 $U$ と $t \in \mathcal{G}(U)$ に対し、$U$ の開被覆 $U = \bigcup_i U_i$ と $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ で $\varphi_{U_i}(s_i) = t|_{U_i}$ となるものがある。
3. 次の 3 条件は同値である: (a) $\varphi$ は同型、(b) すべての $U$ で $\varphi_U$ は全単射、(c) すべての $x$ で $\varphi_x$ は全単射。
4. $\mathcal{P}$ を前層、$\mathcal{G}$ を層とし、$\varphi, \psi\colon \mathcal{P} \to \mathcal{G}$ を前層の射とする。すべての $x$ で $\varphi_x = \psi_x$ なら $\varphi = \psi$ である。

(2) の条件は「すべての $U$ で $\varphi_U$ が全射」より真に弱い条件です。茎で全射でも、切断の水準では全射とは限りません（例 9.2）。

証明（命題 3.2）

(1) すべての $\varphi_U$ が単射とします。$\mathcal{F}_x$ の 2 元は、共通の開集合 $U$ 上の切断 $s, s'$ の芽として書けます。$\varphi_x(s_x) = \varphi_x(s'_x)$ なら、$x$ の開近傍 $W \subseteq U$ で $\varphi_U(s)|_W = \varphi_U(s')|_W$、すなわち $\varphi_W(s|_W) = \varphi_W(s'|_W)$ となるものがあり、$\varphi_W$ の単射性から $s|_W = s'|_W$、よって $s_x = s'_x$ です。逆にすべての $\varphi_x$ が単射とし、$s, s' \in \mathcal{F}(U)$ が $\varphi_U(s) = \varphi_U(s')$ を満たすとします。各 $x \in U$ で $\varphi_x(s_x) = \varphi_x(s'_x)$ なので $s_x = s'_x$ で、$x$ の開近傍 $W_x \subseteq U$ で $s|_{W_x} = s'|_{W_x}$ となるものがあります。$U = \bigcup_x W_x$ と $\mathcal{F}$ の局所性から $s = s'$ です。

(2) すべての $\varphi_x$ が全射とし、$t \in \mathcal{G}(U)$、$x \in U$ とします。$t_x = \varphi_x(\sigma)$ となる $\sigma \in \mathcal{F}_x$ を取り、$\sigma = s_x$（$s \in \mathcal{F}(V)$）と書くと、$(\varphi_V(s))_x = t_x$ なので、$x$ の開近傍 $W_x \subseteq U \cap V$ で $\varphi_{W_x}(s|_{W_x}) = t|_{W_x}$ となるものがあります。$\{W_x\}_{x \in U}$ と $s|_{W_x}$ が求める被覆と切断です。逆に条件が成り立つとし、$\tau \in \mathcal{G}_x$ を $\tau = t_x$（$t \in \mathcal{G}(U)$）と書きます。条件の被覆で $x \in U_i$ となる $i$ を取ると、$\varphi_x((s_i)_x) = (t|_{U_i})_x = \tau$ です。

(3) (a) と (b) の同値: $\varphi$ が同型なら、逆射 $\psi$ について $\psi_U$ が $\varphi_U$ の逆写像です。逆にすべての $\varphi_U$ が全単射なら、$\psi_U = \varphi_U^{-1}$ は $\psi_V(t|_V) = \psi_U(t)|_V$ を満たし（両辺に $\varphi_V$ を施すとどちらも $t|_V$）、前層の射で、$\varphi$ の逆です。

(b) ならば (c): (1) により $\varphi_x$ は単射で、(2) の条件は被覆として $\{U\}$ を取れば成り立つので $\varphi_x$ は全射です。

(c) ならば (b): (1) によりすべての $\varphi_U$ は単射です。$t \in \mathcal{G}(U)$ とし、(2) の被覆 $U_i$ と $s_i$ を取ります。$U_i \cap U_j$ の上で $\varphi(s_i|_{U_i \cap U_j}) = t|_{U_i \cap U_j} = \varphi(s_j|_{U_i \cap U_j})$ なので、$\varphi_{U_i \cap U_j}$ の単射性から $s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$ です。$\mathcal{F}$ の貼り合わせにより $s|_{U_i} = s_i$ となる $s \in \mathcal{F}(U)$ があり、$\varphi_U(s)|_{U_i} = \varphi_{U_i}(s_i) = t|_{U_i}$ なので、$\mathcal{G}$ の局所性から $\varphi_U(s) = t$ です。

(4) $s \in \mathcal{P}(U)$ とします。各 $x \in U$ で $(\varphi_U(s))_x = \varphi_x(s_x) = \psi_x(s_x) = (\psi_U(s))_x$ なので、$x$ の開近傍 $W_x \subseteq U$ の上で $\varphi_U(s)$ と $\psi_U(s)$ は一致します。$\mathcal{G}$ の局所性から $\varphi_U(s) = \psi_U(s)$ です。

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(3) は層の射についての主張で、前層では成り立ちません。定数前層から定数層への自然な射は、すべての茎で同型ですが同型ではありません。また (3) は「茎が同型な層は同型」とは言っていません。同型を与える射が先に必要です。

4. 芽の族による構成：層化と開基の上の層

前層を層に直す操作（層化）と、開基の上だけで与えた層を全体に延長する操作は、同じ構成で実現できます。どちらも「茎の元の族で、局所的に一つの切断から来るもの」を切断とします。そこで開基の上の前層から始めます。

定義 4.1（開基の上の前層と層）↗

$\mathcal{B}$ を $X$ の開基（定義 5.1［位相空間の定義と基本概念］）とする。$\mathcal{B}$ の上の前層とは、$U \in \mathcal{B}$ ごとの Abel 群（または環、集合）$\mathcal{F}(U)$ と、$\mathcal{B}$ の元の包含 $V \subseteq U$ ごとの制限写像 $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$ で、定義 2.1 と同じ関手性を満たすものをいう。射も同様に定める。

$\mathcal{B}$ の上の前層 $\mathcal{F}$ が $\mathcal{B}$ の上の層であるとは、任意の $U \in \mathcal{B}$ と、$\mathcal{B}$ の元による任意の被覆 $U = \bigcup_i U_i$ について次が成り立つことをいう: $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ の族が、「$W \in \mathcal{B}$、$W \subseteq U_i \cap U_j$ ならば $s_i|_W = s_j|_W$」を満たすとき、すべての $i$ で $s|_{U_i} = s_i$ となる $s \in \mathcal{F}(U)$ がただ一つ存在する。

$x \in X$ での茎を $\mathcal{F}_x = \varinjlim_{x \in U \in \mathcal{B}} \mathcal{F}(U)$ と定める（$\mathcal{B}$ が開基なので、$x$ を含む $U, V \in \mathcal{B}$ に対し $x \in W \subseteq U \cap V$ となる $W \in \mathcal{B}$ があり、添字集合は有向である）。$X$ 上の前層 $\mathcal{G}$ の $\mathcal{B}$ への制限を $\mathcal{G}|_{\mathcal{B}}$ と書く。

$\mathcal{B}$ が開集合の全体のとき、$\mathcal{B}$ の上の層は 定義 2.2 の層と同じです（$W = U_i \cap U_j$ と取れるので条件が一致し、$s$ の一意性が局所性です）。$X$ 上の前層 $\mathcal{G}$ について、$\mathcal{G}|_{\mathcal{B}}$ の茎は $\mathcal{G}$ の茎と自然に同一視できます。$x$ を含む任意の開集合 $U$ に対し $x \in W \subseteq U$ となる $W \in \mathcal{B}$ があり、$(U, s)$ は $(W, s|_W)$ と同値で、同値関係も $\mathcal{B}$ の元の上で判定できるからです。

次の補題が作るのは、各点に芽を 1 つずつ割り当てた族のうち、「各点の近くでは 1 つの切断の芽になっている」ものを切断とみなす層です。層の 2 条件を芽の言葉でそのまま満たすように作ってあります。開基の元だけで始めるのは、開集合の一部にしか値が与えられていない場合にも使うためです。層化は、この補題で $\mathcal{B}$ を開集合の全体としたものです。

補題 4.2（芽の族の層）✓

$\mathcal{B}$ を $X$ の開基、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{B}$ の上の前層（Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）とする。開集合 $U \subseteq X$ に対し

$$\mathcal{F}^+(U) = \Bigl\{ (s_x)_{x \in U} \in \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ :\ \text{各 } x \in U \text{ に、} x \in W \subseteq U \text{ となる } W \in \mathcal{B} \text{ と } t \in \mathcal{F}(W) \text{ があって、すべての } y \in W \text{ で } s_y = t_y \Bigr\}$$

とおき、制限写像を族の制限 $(s_x)_{x \in U} \mapsto (s_x)_{x \in V}$ とする。

1. $\mathcal{F}^+$ は $X$ 上の層である（演算は成分ごと）。
2. $U \in \mathcal{B}$ に対し $\theta_U\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}^+(U)$、$\theta_U(s) = (s_x)_{x \in U}$ とおくと、$\theta$ は $\mathcal{B}$ の上の前層の射 $\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+|_{\mathcal{B}}$ で、すべての $x$ で茎の同型 $\theta_x\colon \mathcal{F}_x \to (\mathcal{F}^+)_x$ を与える。逆写像は $(U, (s_y)_y)$ の類を $s_x$ に写す。
3. $\mathcal{B}$ の上の前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ に対し、$\varphi^+((s_x)_x) = (\varphi_x(s_x))_x$ は層の射 $\varphi^+\colon \mathcal{F}^+ \to \mathcal{F}'^+$ を定め、$\varphi^+ \circ \theta = \theta' \circ \varphi$、$(\psi\varphi)^+ = \psi^+\varphi^+$、$\mathrm{id}^+ = \mathrm{id}$ である。
4. $\mathcal{F}$ が $\mathcal{B}$ の上の層なら、すべての $U \in \mathcal{B}$ で $\theta_U$ は全単射である。
5. $\mathcal{G}$ が $X$ 上の層なら、$\sigma_U\colon \mathcal{G}(U) \to (\mathcal{G}|_{\mathcal{B}})^+(U)$、$s \mapsto (s_x)_{x \in U}$ はすべての開集合 $U$ で全単射で、層の同型 $\sigma\colon \mathcal{G} \to (\mathcal{G}|_{\mathcal{B}})^+$ を与える。とくに層の切断は芽の族で決まる。

証明（補題 4.2）

(1) 定義の条件を「族 $(s_x)$ は局所的に切断から来る」と呼びます。2 つの族 $(s_x)$、$(s'_x)$ がこの条件を満たすとき、$x$ に対する $(W, t)$、$(W', t')$ を取り、$x \in W'' \subseteq W \cap W'$ となる $W'' \in \mathcal{B}$ を選ぶと、$W''$ の上で $s_y + s'_y = (t|_{W''} + t'|_{W''})_y$ です。積や $\mathcal{O}$ の作用についても同じで、$\mathcal{F}^+(U)$ は成分ごとの演算で閉じています。制限写像は関手性を満たします。局所性: 族は成分で決まるので、$U = \bigcup_i U_i$ の各 $U_i$ への制限が等しい 2 つの族は等しい。貼り合わせ: $s^i \in \mathcal{F}^+(U_i)$ が重なりで一致すれば、$x \in U_i$ のとき $s_x = s^i_x$ とおくことで族 $(s_x)_{x \in U}$ が矛盾なく定まり、条件は各点の近傍についてのものなので $(s_x) \in \mathcal{F}^+(U)$ です。

(2) $\theta_U(s)$ は $(W, t) = (U, s)$ により条件を満たし、$\theta_V(s|_V) = \theta_U(s)|_V$ です。$\mathcal{F}^+|_{\mathcal{B}}$ の茎は $\mathcal{F}^+$ の茎と同一視できるので、$\theta_x\colon \mathcal{F}_x \to (\mathcal{F}^+)_x$ が定まります。$e_x\colon (\mathcal{F}^+)_x \to \mathcal{F}_x$ を、$(U, (s_y)_y)$ の類に $s_x$ を対応させる写像とします（同値な組は $x$ の近傍の上で同じ族なので、矛盾なく定まります）。$e_x(\theta_x(t_x)) = t_x$ です。逆に $(U, (s_y)_y)$ に対し、条件の $(W, t)$ を取ると $(s_y)_{y \in W} = \theta_W(t)$ なので、その類は $\theta_x(t_x) = \theta_x(s_x) = \theta_x(e_x(\text{類}))$ に等しくなります。よって $\theta_x$ と $e_x$ は互いに逆です。

(3) $(s_x)$ が $(W, t)$ により条件を満たせば、$(\varphi_x(s_x))$ は $(W, \varphi_W(t))$ により条件を満たします。成分ごとの定義なので制限と両立し、準同型です。$\varphi^+(\theta_U(s)) = (\varphi_x(s_x))_x = ((\varphi_U(s))_x)_x = \theta'_U(\varphi_U(s))$ で、残りの等式も成分ごとに確かめられます。

(4) $U \in \mathcal{B}$ とします。単射性。 $\theta_U(s) = \theta_U(s')$ なら、各 $x \in U$ で $s_x = s'_x$ なので、$x \in W_x \subseteq U$ となる $W_x \in \mathcal{B}$ で $s|_{W_x} = s'|_{W_x}$ となるものがあります。$\mathcal{B}$ の上の層の条件の一意性を、被覆 $U = \bigcup_x W_x$ と族 $s|_{W_x}$ に使うと $s = s'$ です。全射性。 $(s_x) \in \mathcal{F}^+(U)$ とし、各 $x$ に条件の $(W_x, t^x)$ を取ります。$W \in \mathcal{B}$、$W \subseteq W_x \cap W_{x'}$ のとき、$t^x|_W$ と $t^{x'}|_W$ は $W$ の各点 $y$ で同じ芽 $s_y$ をもつので、いま示した単射性（$U$ を $W$ に取り替える）により等しくなります。よって $\mathcal{B}$ の上の層の条件から $s|_{W_x} = t^x$ となる $s \in \mathcal{F}(U)$ があり、$y \in W_x$ で $s_y = t^x_y$ なので $\theta_U(s) = (s_y)_y$ です。

(5) $\sigma_U(s)$ は条件を満たし（各点で $x \in W \subseteq U$ となる $W \in \mathcal{B}$ と $t = s|_W$ を取る）、$\sigma$ は層の射です。単射性。 $\sigma_U(s) = \sigma_U(s')$ なら各点の近傍で $s$ と $s'$ は一致し、$\mathcal{G}$ の局所性から $s = s'$ です。全射性。 $(s_x) \in (\mathcal{G}|_{\mathcal{B}})^+(U)$ に条件の $(W_x, t^x)$ を取ると、$t^x|_{W_x \cap W_{x'}}$ と $t^{x'}|_{W_x \cap W_{x'}}$ は各点で同じ芽をもつので、単射性により等しく、$\mathcal{G}$ の貼り合わせで $s|_{W_x} = t^x$ となる $s \in \mathcal{G}(U)$ が得られます。$\sigma_U(s) = (s_x)$ です。すべての $\sigma_U$ が全単射なので、命題 3.2 の (3) により $\sigma$ は同型です。

∎

定理 4.3（層化の存在と普遍性）✓

$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層（Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）とする。補題 4.2 で $\mathcal{B}$ を開集合の全体としたときの層 $\mathcal{F}^+$ と射 $\theta\colon \mathcal{F} \to \mathcal{F}^+$ について、次が成り立つ。$\mathcal{F}^+$ を $\mathcal{F}$ の層化という。

1. すべての $x \in X$ で $\theta_x\colon \mathcal{F}_x \to (\mathcal{F}^+)_x$ は同型である。
2. （普遍性）任意の層 $\mathcal{G}$ と前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ に対し、$\tilde\varphi \circ \theta = \varphi$ となる層の射 $\tilde\varphi\colon \mathcal{F}^+ \to \mathcal{G}$ がただ一つ存在する。この性質をもつ組 $(\mathcal{F}^+, \theta)$ は、$\theta$ と両立する同型を除いて一意である。$\mathcal{F}$ が層なら $\theta$ は同型である。
3. $\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+$ は関手 $a\colon \mathsf{PAb}(X) \to \mathsf{Ab}(X)$ になり、包含関手 $\iota\colon \mathsf{Ab}(X) \to \mathsf{PAb}(X)$ の左随伴である（定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］）。すなわち $\mathsf{Ab}(X)$ は $\mathsf{PAb}(X)$ の反射的部分圏（定義 4.1［随伴関手と随伴関手定理］）である。$\mathcal{O}$ 加群の前層と層についても同じである。
4. Abel 群の前層の列 $\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ が、すべての開集合 $U$ で完全列 $\mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}''(U)$ を与えるなら、すべての $x$ で茎の列 $(\mathcal{F}'^+)_x \to (\mathcal{F}^+)_x \to (\mathcal{F}''^+)_x$ は完全である。

証明（定理 4.3）

(1) 補題 4.2 の (2) です。

(2) 存在。 補題 4.2 の (3) により $\varphi^+\colon \mathcal{F}^+ \to \mathcal{G}^+$ があり、(5) により $\sigma\colon \mathcal{G} \to \mathcal{G}^+$ は同型です（$\mathcal{B}$ が開集合の全体なので $\sigma$ は $\mathcal{G}$ についての $\theta$ と同じ射です）。$\tilde\varphi = \sigma^{-1} \circ \varphi^+$ とおくと、$\tilde\varphi \circ \theta = \sigma^{-1} \circ \varphi^+ \circ \theta = \sigma^{-1} \circ \sigma \circ \varphi = \varphi$ です。

一意性。 $\psi \circ \theta = \varphi$ なら、茎で $\psi_x \circ \theta_x = \varphi_x$ で、(1) により $\psi_x = \varphi_x \circ \theta_x^{-1}$ と決まります。命題 3.2 の (4) により $\psi$ は一意です。

組の一意性。 $(\mathcal{F}^\dagger, \theta^\dagger)$ も同じ性質をもてば、$\alpha\theta = \theta^\dagger$、$\beta\theta^\dagger = \theta$ となる層の射 $\alpha\colon \mathcal{F}^+ \to \mathcal{F}^\dagger$、$\beta\colon \mathcal{F}^\dagger \to \mathcal{F}^+$ があり、$\beta\alpha\theta = \theta$ と一意性から $\beta\alpha = \mathrm{id}$、同様に $\alpha\beta = \mathrm{id}$ です。$\mathcal{F}$ が層なら $\theta = \sigma$ は 補題 4.2 の (5) により同型です。

(3) (2) は、各 $\mathcal{F}$ について $(\mathcal{F}^+, \theta)$ が $\mathcal{F}$ から $\iota$ への普遍射であることを述べています。定理 2.7［随伴関手と随伴関手定理］ により、$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+$ は $\iota$ の左随伴に延びます。射 $\varphi$ の行き先は $\theta' \circ \varphi$ の経由として決まる射で、補題 4.2 の (3) の等式 $\varphi^+\theta = \theta'\varphi$ により $\varphi^+$ に等しくなります。$\mathcal{O}$ 加群の前層については、$\mathcal{O}(U)$ が $\mathcal{F}^+(U)$ に $a \cdot (s_x)_x = (a_x s_x)_x$ で作用し、(1)、(2) の射はすべて $\mathcal{O}$ 線形なので、同じ議論が成り立ちます。

(4) $x$ を含む各開集合 $U$ で $\mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}''(U)$ が完全なので、有向集合の上の余極限を取った $\mathcal{F}'_x \to \mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x$ も完全です（系 6.5［極限と余極限］ の (2)）。$\theta_x$ は射と両立する同型（$\varphi^+_x\theta_x = \theta'_x\varphi_x$）なので、層化の茎の列も完全です。

∎

定理 4.4（開基の上の層の延長）✓

$\mathcal{B}$ を $X$ の開基とする（値は Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）。

1. $\mathcal{F}$ を $\mathcal{B}$ の上の層とする。$X$ 上の層 $\widetilde{\mathcal{F}}$ と、$U \in \mathcal{B}$ ごとの同型 $\theta_U\colon \mathcal{F}(U) \to \widetilde{\mathcal{F}}(U)$ で制限写像と両立するものが存在する。茎について $\widetilde{\mathcal{F}}_x \cong \mathcal{F}_x = \varinjlim_{x \in U \in \mathcal{B}} \mathcal{F}(U)$ である。
2. $\mathcal{G}, \mathcal{H}$ を $X$ 上の層とする。制限 $\varphi \mapsto \varphi|_{\mathcal{B}}$ は、層の射 $\mathcal{G} \to \mathcal{H}$ の全体から、$\mathcal{B}$ の上の前層の射 $\mathcal{G}|_{\mathcal{B}} \to \mathcal{H}|_{\mathcal{B}}$ の全体への全単射である。
3. (1) の組 $(\widetilde{\mathcal{F}}, \theta)$ は、$\theta$ と両立する同型を除いて一意である。

証明（定理 4.4）

(1) $\widetilde{\mathcal{F}} = \mathcal{F}^+$ と 補題 4.2 の $\theta$ を取ります。同じ補題の (1) により層、(2) により $\theta$ は制限と両立して茎の同型を与え、(4) により $U \in \mathcal{B}$ で $\theta_U$ は全単射です。

(2) 単射性。 $\varphi|_{\mathcal{B}} = \varphi'|_{\mathcal{B}}$ とします。茎は $\mathcal{B}$ の元の上の切断の芽で尽くされるので $\varphi_x = \varphi'_x$ で、命題 3.2 の (4) により $\varphi = \varphi'$ です。

全射性。 $\mathcal{B}$ の上の前層の射 $\varphi^{\mathcal{B}}\colon \mathcal{G}|_{\mathcal{B}} \to \mathcal{H}|_{\mathcal{B}}$ に対し、補題 4.2 の (3) の射 $(\varphi^{\mathcal{B}})^+$ と (5) の同型 $\sigma_{\mathcal{G}}$、$\sigma_{\mathcal{H}}$ を使って $\varphi = \sigma_{\mathcal{H}}^{-1} \circ (\varphi^{\mathcal{B}})^+ \circ \sigma_{\mathcal{G}}$ とおきます。$U \in \mathcal{B}$、$s \in \mathcal{G}(U)$ について

$$\sigma_{\mathcal{H}}(\varphi_U(s)) = \bigl(\varphi^{\mathcal{B}}_x(s_x)\bigr)_{x \in U} = \bigl((\varphi^{\mathcal{B}}_U(s))_x\bigr)_{x \in U} = \sigma_{\mathcal{H}}\bigl(\varphi^{\mathcal{B}}_U(s)\bigr)$$

で、$\sigma_{\mathcal{H}}$ は単射なので $\varphi_U = \varphi^{\mathcal{B}}_U$、すなわち $\varphi|_{\mathcal{B}} = \varphi^{\mathcal{B}}$ です。

(3) $(\widetilde{\mathcal{F}}', \theta')$ も条件を満たすとします。$\theta'_U \circ \theta_U^{-1}$（$U \in \mathcal{B}$）は $\mathcal{B}$ の上の前層の同型 $\widetilde{\mathcal{F}}|_{\mathcal{B}} \to \widetilde{\mathcal{F}}'|_{\mathcal{B}}$ で、(2) により層の射 $\alpha\colon \widetilde{\mathcal{F}} \to \widetilde{\mathcal{F}}'$ に一意に延びます。逆向きの $\theta_U \circ \theta'^{-1}_U$ も射 $\beta$ に延び、$\beta\alpha$ と恒等射は $\mathcal{B}$ の上で一致するので (2) の単射性から $\beta\alpha = \mathrm{id}$、同様に $\alpha\beta = \mathrm{id}$ です。

∎

(1) と (2) をあわせると、制限 $\mathcal{G} \mapsto \mathcal{G}|_{\mathcal{B}}$ は、$X$ 上の層の圏から $\mathcal{B}$ の上の層の圏への圏同値です（充満忠実で本質的全射）。層を定義したり、層の射を定義したりするときは、都合のよい開基の上だけで行えば十分です。

5. 層の圏はアーベル圏

定義 5.1（部分層・核・余核・像・商層）↗

$\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ を $\mathcal{O}$ 加群の層の射とする。

1. $\mathcal{O}$ 加群の層 $\mathcal{F}'$ で、各 $\mathcal{F}'(U)$ が $\mathcal{F}(U)$ の部分加群、制限写像が $\mathcal{F}$ のものの制限であるものを $\mathcal{F}$ の部分層という。
2. $U \mapsto \operatorname{Ker}\varphi_U$ は $\mathcal{F}$ の部分層である（定理 5.2 の証明で確かめる）。これを $\operatorname{Ker}\varphi$ と書く。
3. 前層 $U \mapsto \mathcal{G}(U)/\varphi_U(\mathcal{F}(U))$ の層化を $\operatorname{Coker}\varphi$、前層 $U \mapsto \varphi_U(\mathcal{F}(U))$ の層化を $\operatorname{Im}\varphi$ と書く。
4. 部分層 $\mathcal{F}' \subseteq \mathcal{F}$ の包含の $\operatorname{Coker}$ を商層といい $\mathcal{F}/\mathcal{F}'$ と書く。

余核と像に層化が要るのは、前層 $U \mapsto \mathcal{G}(U)/\varphi_U(\mathcal{F}(U))$ が一般に層でないからです（例 9.2）。

定理 5.2（層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる）✓

$\mathcal{O}$ を $X$ 上の環の前層とする。

1. $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ はアーベル圏（定義 4.1［加法圏とアーベル圏］）である。射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ の核は包含 $\operatorname{Ker}\varphi \to \mathcal{F}$、余核は自然な射 $\mathcal{G} \to \operatorname{Coker}\varphi$ で、すべての $x$ で $(\operatorname{Ker}\varphi)_x = \operatorname{Ker}(\varphi_x)$、$(\operatorname{Coker}\varphi)_x = \operatorname{Coker}(\varphi_x)$、$(\operatorname{Im}\varphi)_x = \operatorname{Im}(\varphi_x)$ である。
2. $\varphi$ が mono であることは、すべての $\varphi_x$ が単射であること、またすべての $\varphi_U$ が単射であることと同値である。$\varphi$ が epi であることは、すべての $\varphi_x$ が全射であることと同値である。
3. 列 $\mathcal{F}' \xrightarrow{\varphi} \mathcal{F} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F}''$ が $\mathcal{F}$ で完全（定義 5.1［加法圏とアーベル圏］）であることと、すべての $x$ で $\mathcal{F}'_x \to \mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x$ が完全であることは同値である。
4. 各点 $x$ について、茎を取る関手 $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathsf{Mod}_{\mathcal{O}_x}$ は完全関手である。層化関手 $a\colon \mathsf{PAb}(X) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全関手である。

とくに、$\mathsf{Ab}(X)$ と、環付き空間 $(X, \mathcal{O}_X)$ の $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ はアーベル圏である。

証明（定理 5.2）

加法圏であること。 $\operatorname{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ は $(\varphi + \psi)_U = \varphi_U + \psi_U$ で Abel 群になり、合成は双線形です。すべての開集合に $0$ を対応させる層が零対象です。$U \mapsto \mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{G}(U)$ は層（局所性と貼り合わせは成分ごとに確かめられる）で、成分への射影により $\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ の積になります（層の射 $\mathcal{H} \to \mathcal{F}$ と $\mathcal{H} \to \mathcal{G}$ の組は、各 $U$ で $\mathcal{H}(U) \to \mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{G}(U)$ を一意に定める）。よって加法圏です（定義 3.4［加法圏とアーベル圏］）。

核。 $\mathcal{K}(U) = \operatorname{Ker}\varphi_U$ とおきます。$s \in \mathcal{K}(U)$ なら $\varphi_V(s|_V) = \varphi_U(s)|_V = 0$ なので $\mathcal{K}$ は部分前層です。局所性は $\mathcal{F}$ から受け継ぎます。$s_i \in \mathcal{K}(U_i)$ が重なりで一致すれば、$\mathcal{F}$ での貼り合わせ $s \in \mathcal{F}(U)$ は $\varphi_U(s)|_{U_i} = \varphi_{U_i}(s_i) = 0$ を満たし、$\mathcal{G}$ の局所性から $\varphi_U(s) = 0$、すなわち $s \in \mathcal{K}(U)$ です。よって $\mathcal{K}$ は層です。$\varphi\chi = 0$ となる射 $\chi\colon \mathcal{H} \to \mathcal{F}$ は各 $U$ で $\mathcal{K}(U)$ に値を取るので、$\mathcal{K}$ を一意に経由します。したがって包含 $\mathcal{K} \to \mathcal{F}$ は核（定義 2.1［加法圏とアーベル圏］）です。

余核。 $\mathcal{C}^{\mathrm{pre}}(U) = \mathcal{G}(U)/\varphi_U(\mathcal{F}(U))$、$\mathcal{C} = (\mathcal{C}^{\mathrm{pre}})^+$ とし、$c\colon \mathcal{G} \to \mathcal{C}^{\mathrm{pre}} \xrightarrow{\theta} \mathcal{C}$ を合成とします。$c\varphi = 0$ です。$\chi\varphi = 0$ となる層の射 $\chi\colon \mathcal{G} \to \mathcal{H}$ は、各 $U$ で $\varphi_U(\mathcal{F}(U))$ を $0$ に写すので前層の射 $\mathcal{C}^{\mathrm{pre}} \to \mathcal{H}$ を一意に経由し、層化の普遍性（定理 4.3 の (2)、(3)）により $\mathcal{C}$ を一意に経由します。よって $c$ は余核です。

茎。 $x$ を含む各 $U$ で $0 \to \mathcal{K}(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U) \to \mathcal{C}^{\mathrm{pre}}(U) \to 0$ は完全なので、余極限を取った $0 \to \mathcal{K}_x \to \mathcal{F}_x \xrightarrow{\varphi_x} \mathcal{G}_x \to \mathcal{C}^{\mathrm{pre}}_x \to 0$ も完全です（系 6.5［極限と余極限］ の (2)）。定理 4.3 の (1) により $\mathcal{C}_x \cong \mathcal{C}^{\mathrm{pre}}_x$ です。よって $\mathcal{K}_x \to \mathcal{F}_x$ は $\operatorname{Ker}(\varphi_x)$ の包含、$c_x\colon \mathcal{G}_x \to \mathcal{C}_x$ は $\operatorname{Im}(\varphi_x)$ による商です。像の前層についても $0 \to \mathcal{K}(U) \to \mathcal{F}(U) \to \varphi_U(\mathcal{F}(U)) \to 0$ から同様に $(\operatorname{Im}\varphi)_x = \operatorname{Im}(\varphi_x)$ です。

(2)。 加法圏では、$\varphi$ が mono であることは核が $0$ であることと同値です（補題 2.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）。$\operatorname{Ker}\varphi = 0$ はすべての $\varphi_U$ が単射ということで、命題 3.2 の (1) によりすべての $\varphi_x$ が単射であることと同値です。$\varphi$ が epi であることは「$\chi\varphi = 0$ ならば $\chi = 0$」と同値（同じ補題の (2)）で、余核の普遍性から、これは $c = 0$、すなわち $\mathcal{C} = 0$ と同値です（$c = 0$ なら $\mathrm{id}_{\mathcal{C}} \circ c = 0 \circ c$ と余核の一意性から $\mathrm{id}_{\mathcal{C}} = 0$）。層 $\mathcal{C}$ が $0$ であることは、すべての茎が $0$ であることと同値です（補題 4.2 の (5) により、切断は芽の族で決まる）。$\mathcal{C}_x = \operatorname{Coker}(\varphi_x)$ なので、これはすべての $\varphi_x$ が全射であることと同値です。

(AB2)。 $\varphi$ を mono とし、$c$ をその余核、$\mathcal{K}' = \operatorname{Ker} c \subseteq \mathcal{G}$ とします。$c\varphi = 0$ なので $\varphi$ は $\varphi'\colon \mathcal{F} \to \mathcal{K}'$ を経由します。茎では $\mathcal{K}'_x = \operatorname{Ker}(c_x) = \operatorname{Im}(\varphi_x)$ で、$\varphi_x$ は単射なので $\varphi'_x\colon \mathcal{F}_x \to \mathcal{K}'_x$ は全単射です。命題 3.2 の (3) により $\varphi'$ は同型で、$\varphi$ は $c$ の核です。次に $\varphi$ を epi とし、$k\colon \mathcal{K} \to \mathcal{F}$ をその核、$q\colon \mathcal{F} \to \mathcal{Q}$ を $k$ の余核とします。$\varphi k = 0$ なので $\varphi = \bar\varphi q$ となる $\bar\varphi\colon \mathcal{Q} \to \mathcal{G}$ があります。茎では $\mathcal{Q}_x = \mathcal{F}_x/\operatorname{Ker}(\varphi_x)$ で、$\varphi_x$ は全射なので $\bar\varphi_x$ は全単射、したがって $\bar\varphi$ は同型で、$\varphi$ は $k$ の余核です。以上で (1) が示されました。

(3)。 補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (1) により、$\mathcal{F}$ で完全であることは「$\psi\varphi = 0$ かつ合成 $\operatorname{Ker}\psi \to \mathcal{F} \to \operatorname{Coker}\varphi$ が $0$」と同値です。層への射が $0$ であることは、すべての茎で $0$ であることと同値です（命題 3.2 の (4)）。茎では、この 2 条件は $\psi_x\varphi_x = 0$ と「$\operatorname{Ker}(\psi_x) \to \mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_x/\operatorname{Im}(\varphi_x)$ が $0$」、すなわち $\operatorname{Im}(\varphi_x) \subseteq \operatorname{Ker}(\psi_x)$ と $\operatorname{Ker}(\psi_x) \subseteq \operatorname{Im}(\varphi_x)$ です。

(4)。 茎を取る関手は加法的で、(3) により短完全列を短完全列に写すので完全です（命題 5.4［加法圏とアーベル圏］ の (3)）。$\mathsf{PAb}(X) = [\mathsf{Open}(X)^{\mathrm{op}}, \mathsf{Ab}]$ はアーベル圏で、完全性は開集合ごとの完全性です（命題 5.7［加法圏とアーベル圏］）。$a$ は $(\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+$ を満たす加法関手で、前層の短完全列は各開集合で完全なので、定理 4.3 の (4) と上の (3) により、$a$ はそれを層の短完全列に写します。

∎

(2) と 命題 3.2 の (2) をあわせると、層の epi は「切断が局所的に持ち上がる射」です。$0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ が層の完全列でも、$\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}''(U)$ は全射とは限りません。

6. 大域切断・順像・逆像

定義 6.1（順像・逆像・制限・摩天楼層）↗

$f\colon X \to Y$ を連続写像とする。

1. $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ に対し、$(f_*\mathcal{F})(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ で定まる $Y$ 上の層 $f_*\mathcal{F}$ を順像という（$V$ の開被覆の逆像は $f^{-1}(V)$ の開被覆なので層になる）。射 $\varphi$ には $(f_*\varphi)_V = \varphi_{f^{-1}(V)}$ を対応させる。$\mathcal{F}$ が $\mathcal{O}$ 加群なら $f_*\mathcal{F}$ は $f_*\mathcal{O}$ 加群である。
2. $Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ に対し、$X$ 上の前層

$$(f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})(U) = \varinjlim_{V \supseteq f(U)} \mathcal{G}(V)$$

（$V$ は $f(U)$ を含む $Y$ の開集合を動く。逆向きの包含で有向）の層化を $f^{-1}\mathcal{G}$ と書き、逆像という。$U' \subseteq U$ のとき、$f(U)$ を含む $V$ は $f(U')$ も含むので、制限写像 $(f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})(U) \to (f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})(U')$ が類 $[V, s]$ を類 $[V, s]$ に写すことで定まる。 3. 部分空間 $Z \subseteq X$ の包含 $i\colon Z \to X$ について $\mathcal{F}|_Z = i^{-1}\mathcal{F}$ と書き、制限という。$Z = U$ が開集合なら、$W \subseteq U$ について $f(W) = W$ を含む最小の開集合が $W$ 自身なので $(i^{\mathrm{p}}\mathcal{F})(W) = \mathcal{F}(W)$ で、これは層だから $(\mathcal{F}|_U)(W) = \mathcal{F}(W)$ である。 4. 点 $x \in X$ と Abel 群（または $\mathcal{O}_x$ 加群）$M$ に対し、$x \in U$ なら $M$、$x \notin U$ なら $0$ を対応させ、制限写像を恒等写像か零写像とする層を摩天楼層といい $x_*M$ と書く。$1$ 点空間からの包含 $\{x\} \to X$ による順像である。$\mathcal{O}(U)$ は $\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}_x$ を通して作用する。

順像は $Y$ の開集合 $V$ に、$X$ の側で対応する開集合 $f^{-1}(V)$ の切断を割り当てるだけの操作です。逆像はその逆向きで、$X$ の開集合 $U$ に対し、$U$ の像 $f(U)$ を含む $Y$ の開集合 $V$ をどんどん小さくしていき、その上の切断の順極限を取ります。$f(U)$ のすぐ近くの切断だけが残ります。この前層を層化したものが逆像です。

命題 6.2（大域切断と順像は左完全）✓

1. 開集合 $U \subseteq X$ について、$\Gamma(U, -)\colon \mathsf{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathsf{Mod}_{\mathcal{O}(U)}$、$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)$ は左完全な加法関手である。とくに大域切断関手 $\Gamma(X, -)\colon \mathsf{Ab}(X) \to \mathsf{Ab}$ は左完全である。
2. 連続写像 $f\colon X \to Y$ について、$f_*\colon \mathsf{Ab}(X) \to \mathsf{Ab}(Y)$ と $f_*\colon \mathsf{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathsf{Mod}(f_*\mathcal{O})$ は左完全な加法関手である。

証明（命題 6.2）

どちらの関手も射の和を和に写すので加法的です。

(1) $0 \to \mathcal{F}' \xrightarrow{\varphi} \mathcal{F} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F}''$ が完全であることは、$\varphi$ が $\psi$ の核であることと同値です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。定理 5.2 により $\psi$ の核は包含 $\operatorname{Ker}\psi \to \mathcal{F}$ で、核は同型を除いて一意なので、$\varphi$ は同型 $\mathcal{F}' \to \operatorname{Ker}\psi$ と包含の合成です。$U$ での値を取ると、$\varphi_U$ は $\mathcal{F}'(U)$ から $\operatorname{Ker}\psi_U$ への同型と包含の合成で、$0 \to \mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}''(U)$ は完全です。

(2) $(f_*\operatorname{Ker}\psi)(V) = \operatorname{Ker}\psi_{f^{-1}(V)} = \operatorname{Ker}\bigl((f_*\psi)_V\bigr)$ なので $f_*(\operatorname{Ker}\psi) = \operatorname{Ker}(f_*\psi)$ で、$f_*$ は核を保ちます。(1) と同じ言い換えにより、$f_*$ は完全列 $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ を完全列に写します。

∎

右完全でないことは 例 9.2 と 演習 10.2 で確かめます。左完全だが完全でない関手 $\Gamma$ の「完全性からのずれ」を測る右導来関手が、層のコホモロジーです。

定理 6.3（逆像と順像の随伴）✓

$f\colon X \to Y$ を連続写像とする。

1. $Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ と $x \in X$ について、$\mathcal{G}$ について自然な同型 $(f^{-1}\mathcal{G})_x \cong \mathcal{G}_{f(x)}$ がある。
2. $X$ 上の Abel 群の層 $\mathcal{F}$ と $Y$ 上の Abel 群の層 $\mathcal{G}$ について、両方の変数について自然な全単射

$$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})$$

がある。すなわち $f^{-1} \dashv f_*$ である。 3. $f^{-1}\colon \mathsf{Ab}(Y) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全関手である。したがって $f_*$ は入射対象を入射対象に写す。 4. $\mathcal{O}_Y$ を $Y$ 上の環の層とする。$f^{-1}\mathcal{O}_Y$ は $X$ 上の環の層で、$\mathcal{G}$ が $\mathcal{O}_Y$ 加群なら $f^{-1}\mathcal{G}$ は $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 加群である。$\mathcal{F}$ が $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 加群なら、$f_*\mathcal{F}$ は (2) の単位 $\mathcal{O}_Y \to f_*f^{-1}\mathcal{O}_Y$ を通して $\mathcal{O}_Y$ 加群になり、(2) の全単射は $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 線形な射と $\mathcal{O}_Y$ 線形な射を対応させる。

証明（定理 6.3）

(1) 定理 4.3 の (1) により $(f^{-1}\mathcal{G})_x \cong (f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})_x$ です。$(f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})_x$ の元は、$x \in U$、$f(U) \subseteq V$、$s \in \mathcal{G}(V)$ による類 $[U, [V, s]]$ です。これに $s_{f(x)} \in \mathcal{G}_{f(x)}$ を対応させます。同値な表示は $f(x)$ のある近傍の上で一致する切断を与えるので、写像 $\lambda\colon (f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})_x \to \mathcal{G}_{f(x)}$ が定まります。全射性。 $t_{f(x)}$（$t \in \mathcal{G}(V)$）に対し $U = f^{-1}(V)$ とおけば $\lambda([U, [V, t]]) = t_{f(x)}$ です。単射性。 $s_{f(x)} = s'_{f(x)}$ なら、$f(x)$ の開近傍 $V'' \subseteq V \cap V'$ で $s|_{V''} = s'|_{V''}$ となるものがあり、$U'' = U \cap U' \cap f^{-1}(V'')$ は $x$ の開近傍で $f(U'') \subseteq V''$ なので、$[U, [V, s]] = [U'', [V'', s|_{V''}]] = [U', [V', s']]$ です。$\lambda$ は射 $\mathcal{G} \to \mathcal{G}'$ と両立します。

(2) まず前層の射について、全単射

$$\operatorname{Hom}(f^{\mathrm{p}}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})$$

を作ります。$\alpha\colon f^{\mathrm{p}}\mathcal{G} \to \mathcal{F}$ に対し、$\beta_V\colon \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ を $\beta_V(s) = \alpha_{f^{-1}(V)}([V, s])$ で定めます（$f(f^{-1}(V)) \subseteq V$）。逆に $\beta\colon \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}$ に対し、$\alpha_U\colon (f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})(U) \to \mathcal{F}(U)$ を $\alpha_U([V, s]) = \beta_V(s)|_U$ で定めます（$f(U) \subseteq V$ なので $U \subseteq f^{-1}(V)$）。$[V, s] = [V', s']$ なら、$f(U) \subseteq V'' \subseteq V \cap V'$ で $s|_{V''} = s'|_{V''}$ となる $V''$ があり、$\beta_V(s)|_U = \beta_{V''}(s|_{V''})|_U = \beta_{V'}(s')|_U$ なので、$\alpha_U$ は矛盾なく定まります。どちらも制限写像と両立します。

2 つの対応が互いに逆であることを確かめます。$\alpha$ から $\beta$ を作り、$\beta$ から $\alpha'$ を作ると、$\alpha'_U([V, s]) = \alpha_{f^{-1}(V)}([V, s])|_U = \alpha_U([V, s])$ です（最後の等号は、$\alpha$ が制限写像と両立し、制限写像が $[V, s]$ を $[V, s]$ に写すことによる）。$\beta$ から $\alpha$ を作り、$\alpha$ から $\beta'$ を作ると、$\beta'_V(s) = \alpha_{f^{-1}(V)}([V, s]) = \beta_V(s)|_{f^{-1}(V)} = \beta_V(s)$ です。対応は合成で定義されているので、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ の射について自然です。

これに層化の普遍性による自然な全単射 $\operatorname{Hom}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}(f^{\mathrm{p}}\mathcal{G}, \mathcal{F})$（定理 4.3 の (2)）を合成したものが、求める随伴です。対応する射 $\tilde\alpha\colon f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}$ と $\beta\colon \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}$ の関係を茎で書くと、$x \in f^{-1}(V)$、$s \in \mathcal{G}(V)$ について

$$\tilde\alpha_x(s_{f(x)}) = (\beta_V(s))_x$$

です（左辺は (1) の同一視 $(f^{-1}\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}$ による）。

(3) $f^{-1}$ は加法関手です。$\mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}''$ が完全なら、定理 5.2 の (3) により各 $y \in Y$ で茎の列が完全で、(1) の自然な同型により $(f^{-1}\mathcal{G}')_x \to (f^{-1}\mathcal{G})_x \to (f^{-1}\mathcal{G}'')_x$ は $y = f(x)$ での茎の列と同型だから完全です。再び 定理 5.2 の (3) により $f^{-1}$ は完全です。完全な左随伴をもつ関手は入射対象を保ちます（命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の (1)）。

(4) 環の前層 $f^{\mathrm{p}}\mathcal{O}_Y$ の層化 $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ は環の層で、茎は $\mathcal{O}_{Y, f(x)}$ です。$\mathcal{G}_{f(x)}$ は $\mathcal{O}_{Y, f(x)}$ 加群なので、芽の族への成分ごとの作用で $f^{-1}\mathcal{G}$ は $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 加群になります。層の射が線形であることは、切断が芽の族で決まる（補題 4.2 の (5)）ので、茎ごとに線形であることと同値です。$a \in \mathcal{O}_Y(V)$、$s \in \mathcal{G}(V)$、$x \in f^{-1}(V)$ について、(2) の最後の式から

$$(\beta_V(as))_x = \tilde\alpha_x(a_{f(x)}s_{f(x)}), \qquad (a \cdot \beta_V(s))_x = a_{f(x)} \cdot \tilde\alpha_x(s_{f(x)})$$

です（右の式の $a$ の作用は単位 $\mathcal{O}_Y \to f_*f^{-1}\mathcal{O}_Y$ を通したもので、茎では $a_{f(x)}$ の作用）。$\mathcal{G}_{f(x)}$ の元は $s_{f(x)}$ の形で尽くされるので、$\beta$ が $\mathcal{O}_Y$ 線形であることと、すべての $\tilde\alpha_x$ が $\mathcal{O}_{Y, f(x)}$ 線形であること、すなわち $\tilde\alpha$ が $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ 線形であることは同値です。

∎

(1) の同型で $f$ を $1$ 点の包含 $\{x\} \to X$ とすると、$f^{-1}\mathcal{F}$ は茎 $\mathcal{F}_x$ で、(2) は茎と摩天楼層の随伴になります。これは加群の層の形で後で使うので、直接証明しておきます。

補題 6.4（茎と摩天楼層の随伴）✓

$x \in X$、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}$ 加群の層、$M$ を $\mathcal{O}_x$ 加群とする。$\mathcal{F}$ と $M$ について自然な全単射

$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_x}(\mathcal{F}_x, M) \cong \operatorname{Hom}_{\mathsf{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, x_*M)$$

がある。したがって茎を取る関手 $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathsf{Mod}_{\mathcal{O}_x}$ は $x_*$ の左随伴で、存在するすべての余極限を保つ。

証明（補題 6.4）

射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to x_*M$ は、$x \in U$ となる $U$ ごとの $\mathcal{O}(U)$ 線形写像 $\varphi_U\colon \mathcal{F}(U) \to M$ で制限と両立するもの（$x \notin U$ では値が $0$ なので条件なし）と同じです。これは図式 $U \mapsto \mathcal{F}(U)$ からの余錐で、余極限の普遍性により写像 $u\colon \mathcal{F}_x \to M$、$u(s_x) = \varphi_U(s)$ と 1 対 1 に対応します。$\varphi_U$ がすべて線形であることは $u(a_x s_x) = a_x u(s_x)$、すなわち $u$ が $\mathcal{O}_x$ 線形であることと同値です。対応は合成で書けるので自然です。左随伴は余極限を保ちます（定理 3.1［随伴関手と随伴関手定理］）。

∎

7. 開集合と閉集合：0 による延長

定義 7.1（0 による延長・台）↗

$U \subseteq X$ を開集合、$j\colon U \to X$ を包含とする。$U$ 上の層 $\mathcal{G}$ に対し、$X$ 上の前層

$$(j_!^{\mathrm{p}}\mathcal{G})(V) = \begin{cases} \mathcal{G}(V) & (V \subseteq U) \\ 0 & (V \not\subseteq U) \end{cases}$$

の層化を $j_!\mathcal{G}$ と書き、$\mathcal{G}$ の $0$ による延長という。

$X$ 上の層 $\mathcal{F}$ の台を $\operatorname{Supp}\mathcal{F} = \{ x \in X : \mathcal{F}_x \ne 0 \}$、切断 $s \in \mathcal{F}(V)$ の台を $\operatorname{Supp} s = \{ x \in V : s_x \ne 0 \}$ と定める。

$s_x = 0$ なら $x$ の近傍の上で $s = 0$ なので、切断の台は $V$ の閉集合です。層の台は閉集合とは限りません（演習 10.4）。

命題 7.2（0 による延長と完全列）✓

$U \subseteq X$ を開集合、$Z = X \setminus U$ とし、$j\colon U \to X$、$i\colon Z \to X$ を包含とする。

1. $U$ 上の層 $\mathcal{G}$ について、$x \in U$ なら $(j_!\mathcal{G})_x \cong \mathcal{G}_x$、$x \notin U$ なら $(j_!\mathcal{G})_x = 0$ である。$j_!\colon \mathsf{Ab}(U) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全関手で、$(j_!\mathcal{G})|_U \cong \mathcal{G}$ である。
2. $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ と $U$ 上の層 $\mathcal{G}$ について、自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(X)}(j_!\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(U)}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_U)$ がある。すなわち $j_! \dashv j^{-1}$ である。したがって制限 $j^{-1}$ は入射対象を入射対象に写す。
3. $Z$ 上の層 $\mathcal{H}$ について、$x \in Z$ なら $(i_*\mathcal{H})_x \cong \mathcal{H}_x$、$x \notin Z$ なら $(i_*\mathcal{H})_x = 0$ である。$i_*\colon \mathsf{Ab}(Z) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全関手である。
4. $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ について、(2) で $\mathrm{id}_{\mathcal{F}|_U}$ に対応する射 $j_!(\mathcal{F}|_U) \to \mathcal{F}$ と、定理 6.3 の随伴の単位 $\mathcal{F} \to i_*(\mathcal{F}|_Z)$ は、完全列

$$0 \longrightarrow j_!(\mathcal{F}|_U) \longrightarrow \mathcal{F} \longrightarrow i_*(\mathcal{F}|_Z) \longrightarrow 0$$

をなす。

$\mathcal{O}$ 加群の層についても、$\mathcal{O}|_U$ 加群 $\mathcal{G}$ の延長 $j_!\mathcal{G}$ は $\mathcal{O}$ 加群で、(1)、(2)、(4) は $\mathcal{O}$ 加群の圏で成り立つ。

証明（命題 7.2）

(1) $x \in U$ なら、$x$ の開近傍のうち $U$ に含まれるものだけで茎を計算でき、その上で $j_!^{\mathrm{p}}\mathcal{G}$ は $\mathcal{G}$ と同じなので $(j_!^{\mathrm{p}}\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_x$ です。$x \notin U$ なら、$x$ のどの開近傍も $U$ に含まれないので茎は $0$ です。層化は茎を変えません（定理 4.3 の (1)）。$j_!$ は加法関手で、完全列を茎ごとに完全な列に写すので、定理 5.2 の (3) により完全です。$U$ の開集合 $W$ について、$(j_!\mathcal{G})(W)$ は $W$ の点の茎 $\mathcal{G}_x$ の族で局所的に $\mathcal{G}$ の切断から来るものの全体なので、補題 4.2 の (5) により $\mathcal{G}(W)$ と同型です。

(2) 前層の射 $\alpha\colon j_!^{\mathrm{p}}\mathcal{G} \to \mathcal{F}$ は、$V \subseteq U$ についての $\alpha_V\colon \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(V)$ の族で制限と両立するもの、すなわち層の射 $\mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U$ と同じです（$V \not\subseteq U$ では $\alpha_V = 0$ で、$V' \subseteq V$、$V' \subseteq U$、$V \not\subseteq U$ のときの両立条件は $0 = 0$）。層化の普遍性（定理 4.3 の (2)）とあわせて主張の全単射を得ます。対応は合成で書けるので自然です。$j_!$ は (1) により完全なので、右随伴 $j^{-1}$ は入射対象を保ちます（命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の (1)）。

(3) $x \notin Z$ なら、$x$ の開近傍 $V \subseteq U$ について $(i_*\mathcal{H})(V) = \mathcal{H}(V \cap Z) = \mathcal{H}(\varnothing) = 0$ なので茎は $0$ です。$x \in Z$ なら、$Z$ の相対位相での $x$ の開近傍は $V \cap Z$（$V$ は $X$ での $x$ の開近傍）の形で尽くされるので、$(i_*\mathcal{H})_x = \varinjlim_{V \ni x} \mathcal{H}(V \cap Z) = \mathcal{H}_x$ です。$i_*$ は茎ごとに完全な列を茎ごとに完全な列に写すので完全です。

(4) 茎ごとに完全であることを示します（定理 5.2 の (3)）。$\varepsilon\colon j_!(\mathcal{F}|_U) \to \mathcal{F}$ は、$V \subseteq U$ で恒等写像 $\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V)$ である前層の射 $j_!^{\mathrm{p}}(\mathcal{F}|_U) \to \mathcal{F}$ から来るので、$x \in U$ での茎の写像は $\mathcal{F}_x$ の恒等写像です。単位 $\eta\colon \mathcal{F} \to i_*(\mathcal{F}|_Z)$ は、$s \in \mathcal{F}(V)$ を類 $[V, s] \in (i^{\mathrm{p}}\mathcal{F})(V \cap Z)$ の像に写します。$x \in Z$ のとき、(3) と 定理 6.3 の (1) による同一視 $(i_*(\mathcal{F}|_Z))_x = (\mathcal{F}|_Z)_x = \mathcal{F}_x$ のもとで、$\eta_x$ は $s_x$ を $s_x$ に写す恒等写像です。したがって茎の列は

$$x \in U:\quad 0 \to \mathcal{F}_x \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \mathcal{F}_x \to 0 \to 0, \qquad x \in Z:\quad 0 \to 0 \to \mathcal{F}_x \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \mathcal{F}_x \to 0$$

で、どちらも完全です。

$\mathcal{O}$ 加群の場合、$j_!^{\mathrm{p}}\mathcal{G}$ は $\mathcal{O}$ 加群の前層で、層化は $\mathcal{O}$ 加群の層です（定理 4.3 の (3)）。上の射はすべて線形で、同じ証明が成り立ちます。

∎

(4) の完全列は、層を開集合の上の部分と閉集合の上の部分に分けます。コホモロジーの長完全列と組み合わせると、空間を開集合と閉集合に分けて計算する道具になります。

8. 貼り合わせと Grothendieck 圏

定理 8.1（層の貼り合わせ）✓

$X = \bigcup_{i \in I} U_i$ を開被覆とし、$U_{ij} = U_i \cap U_j$、$U_{ijk} = U_i \cap U_j \cap U_k$ と書く。各 $i$ に $U_i$ 上の層 $\mathcal{F}_i$（Abel 群、環、加群、集合のどれでもよい）が、各 $i, j$ に同型 $\varphi_{ij}\colon \mathcal{F}_i|_{U_{ij}} \to \mathcal{F}_j|_{U_{ij}}$ が与えられ、

$$\varphi_{ii} = \mathrm{id}, \qquad \varphi_{jk} \circ \varphi_{ij} = \varphi_{ik} \quad (U_{ijk} \text{ の上で})$$

（コサイクル条件）を満たすとする。このとき $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ と同型 $\psi_i\colon \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{F}_i$ で、$U_{ij}$ の上で $\psi_j = \varphi_{ij} \circ \psi_i$ となるものが存在する。組 $(\mathcal{F}, (\psi_i))$ は、$\psi_i$ と両立する同型を除いて一意である。

また、$X$ 上の層 $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ と、射 $\rho_i\colon \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{G}|_{U_i}$ の族で $\rho_i|_{U_{ij}} = \rho_j|_{U_{ij}}$ を満たすものに対し、$\rho|_{U_i} = \rho_i$ となる射 $\rho\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ がただ一つ存在する。

証明（定理 8.1）

射の貼り合わせ。 $s \in \mathcal{F}(V)$ に対し、$t_i = (\rho_i)_{V \cap U_i}(s|_{V \cap U_i}) \in \mathcal{G}(V \cap U_i)$ とおきます。$V \cap U_{ij}$ の上で $t_i$ と $t_j$ はどちらも $\rho_i|_{U_{ij}} = \rho_j|_{U_{ij}}$ による $s|_{V \cap U_{ij}}$ の像なので一致し、$\mathcal{G}$ の貼り合わせと局所性により $\rho_V(s)|_{V \cap U_i} = t_i$ となる $\rho_V(s) \in \mathcal{G}(V)$ がただ一つあります。$\rho_V$ は制限と両立する準同型で、$V \subseteq U_i$ なら $\rho_V = (\rho_i)_V$ です。条件を満たす射はこの式で決まるので一意です。

層の存在。 開集合 $V \subseteq X$ に対し

$$\mathcal{F}(V) = \Bigl\{ (s_i)_i \in \prod_i \mathcal{F}_i(V \cap U_i) \ :\ \text{すべての } i, j \text{ で } \varphi_{ij}(s_i|_{V \cap U_{ij}}) = s_j|_{V \cap U_{ij}} \Bigr\}$$

とおき、制限写像を成分ごとの制限とします。各 $\mathcal{F}_i$ が層で、条件が制限と両立する等式なので、$\mathcal{F}$ は層です（局所性は成分ごとに、貼り合わせは成分ごとに貼り合わせたものが条件を満たすことを各 $V \cap U_{ij}$ の被覆の上で確かめる）。

$V \subseteq U_i$ のとき、$\psi_{i,V}\colon \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}_i(V)$ を $(s_k)_k \mapsto s_i$ とします。$\omega_{i,V}\colon \mathcal{F}_i(V) \to \mathcal{F}(V)$ を $t \mapsto (\varphi_{ik}(t|_{V \cap U_k}))_k$ で定めると、コサイクル条件から $\varphi_{kl}(\varphi_{ik}(t)) = \varphi_{il}(t)$ が $V \cap U_k \cap U_l$ の上で成り立つので、右辺は $\mathcal{F}(V)$ の元です。$\varphi_{ii} = \mathrm{id}$ から $\psi_{i,V}\omega_{i,V} = \mathrm{id}$ で、$\mathcal{F}(V)$ の元 $(s_k)$ は条件から $s_k = \varphi_{ik}(s_i|_{V \cap U_k})$ を満たすので $\omega_{i,V}\psi_{i,V} = \mathrm{id}$ です。よって $\psi_i\colon \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{F}_i$ は同型です。$V \subseteq U_{ij}$ のとき $\psi_j((s_k)) = s_j = \varphi_{ij}(s_i) = \varphi_{ij}(\psi_i((s_k)))$ です。

一意性。 $(\mathcal{F}', (\psi'_i))$ も条件を満たすとします。$\rho_i = \psi'^{-1}_i \circ \psi_i\colon \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{F}'|_{U_i}$ は、$U_{ij}$ の上で $\psi'^{-1}_j\psi_j = \psi'^{-1}_i\varphi_{ij}^{-1}\varphi_{ij}\psi_i = \rho_i$ を満たすので、前半により射 $\rho\colon \mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ に貼り合わさります。$\rho$ は各 $U_i$ の上で同型なのですべての茎で同型で、命題 3.2 の (3) により同型です。

∎

最後に、層の圏が十分に入射対象をもつことを示します。そのために、開集合 $U$ ごとに「$U$ 上の切断を取る関手を表現する層」を用意します。この層 $\mathcal{O}_{U!}$ から任意の層 $\mathcal{F}$ への射が、$U$ 上の切断 1 つに対応するので、$\mathcal{F}$ の切断をすべて調べることは $\mathcal{O}_{U!}$ からの射を調べることになります。これが生成子の役割です（0 でない射は、どれかの切断を 0 でない切断に写します）。

定理 8.2（層の圏は Grothendieck 圏）✓

$\mathcal{O}$ を $X$ 上の環の前層とする。開集合 $U$ に対し、$\mathcal{O}$ 加群の前層

$$P_U(V) = \begin{cases} \mathcal{O}(V) & (V \subseteq U) \\ 0 & (V \not\subseteq U) \end{cases}$$

の層化を $\mathcal{O}_{U!}$ と書く（$\mathcal{O}$ が層なら 定義 7.1 の $j_!(\mathcal{O}|_U)$ である）。

1. $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ は任意の小さい族の余積をもつ。茎を取る関手は余極限と交換する: $(\varinjlim_i \mathcal{F}_i)_x \cong \varinjlim_i (\mathcal{F}_i)_x$、とくに $(\bigoplus_\lambda \mathcal{F}_\lambda)_x \cong \bigoplus_\lambda (\mathcal{F}_\lambda)_x$。
2. $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ で、フィルター余極限は完全である（AB5。定義 6.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。
3. $\mathcal{O}$ 加群の層 $\mathcal{F}$ について、$\mathcal{F}$ について自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{O}_{U!}, \mathcal{F}) \cong \mathcal{F}(U)$ がある。族 $(\mathcal{O}_{U!})_{U}$ は生成集合で、$\bigoplus_U \mathcal{O}_{U!}$ は生成子（定義 6.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）である。
4. $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ は Grothendieck 圏（定義 6.4［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）であり、十分に入射対象をもつ。

とくに $\mathsf{Ab}(X)$ と、環付き空間 $(X, \mathcal{O}_X)$ の $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ は、十分に入射対象をもつ Grothendieck 圏である。

証明（定理 8.2）

定理 5.2 により $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ はアーベル圏です。

(1) 族 $(\mathcal{F}_\lambda)$ に対し、$\mathcal{O}$ 加群の前層 $P(U) = \bigoplus_\lambda \mathcal{F}_\lambda(U)$ の層化 $P^+$ と、合成 $\mathcal{F}_\lambda \to P \to P^+$ を取ります。層 $\mathcal{G}$ への射の族 $(\varphi_\lambda\colon \mathcal{F}_\lambda \to \mathcal{G})$ は、各 $U$ での直和の普遍性により前層の射 $P \to \mathcal{G}$ と 1 対 1 に対応し、層化の普遍性（定理 4.3 の (2)、(3)）により層の射 $P^+ \to \mathcal{G}$ と 1 対 1 に対応します。よって $P^+$ は余積です。余積をもつアーベル圏は余完備です（補題 6.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の (1)）。茎を取る関手は左随伴なので余極限を保ちます（補題 6.4）。

(2) $I$ を小さいフィルター圏とし、$0 \to D' \to D \to D'' \to 0$ を $[I, \mathsf{Mod}(\mathcal{O})]$ の短完全列とします。関手圏の完全性は各 $i$ での完全性です（命題 5.7［加法圏とアーベル圏］）から、各 $i$ で $0 \to D'_i \to D_i \to D''_i \to 0$ は層の完全列で、定理 5.2 の (3) により各点 $x$ で $0 \to (D'_i)_x \to (D_i)_x \to (D''_i)_x \to 0$ は $\mathcal{O}_x$ 加群の完全列です。これは $i$ について自然なので、加群のフィルター余極限の完全性（系 6.5［極限と余極限］ の (2)）により

$$0 \to \varinjlim_i (D'_i)_x \to \varinjlim_i (D_i)_x \to \varinjlim_i (D''_i)_x \to 0$$

は完全です。(1) により、これは $0 \to (\varinjlim D')_x \to (\varinjlim D)_x \to (\varinjlim D'')_x \to 0$ と同型です（茎を取る関手が余極限の余錐を余極限の余錐に写すので、誘導される射も対応する）。定理 5.2 の (3) により $0 \to \varinjlim D' \to \varinjlim D \to \varinjlim D'' \to 0$ は完全です。$\varinjlim$ は加法関手（補題 6.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の (2)）で短完全列を保つので、完全です（命題 5.4［加法圏とアーベル圏］ の (3)）。

(3) 層化の普遍性により $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_{U!}, \mathcal{F})$ は $\mathcal{O}$ 加群の前層の射 $\alpha\colon P_U \to \mathcal{F}$ の全体と自然に対応します。$\alpha$ に $\alpha_U(1) \in \mathcal{F}(U)$ を対応させます。$V \subseteq U$、$a \in \mathcal{O}(V)$ について、線形性と制限との両立から $\alpha_V(a) = a \cdot \alpha_V(1|_V) = a \cdot \alpha_U(1)|_V$ なので、$\alpha$ は $\alpha_U(1)$ で決まります。逆に $s \in \mathcal{F}(U)$ に対し、$\alpha_V(a) = a \cdot s|_V$（$V \subseteq U$）、$\alpha_V = 0$（$V \not\subseteq U$）は前層の射で $\alpha_U(1) = s$ です。$s$ に対応する射を $u_s\colon \mathcal{O}_{U!} \to \mathcal{F}$ と書くと、射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ について $\varphi \circ u_s = u_{\varphi_U(s)}$ です（自然性）。

$\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ を $0$ でない射とすると、$\varphi_U(s) \ne 0$ となる $U$ と $s \in \mathcal{F}(U)$ があり、$\varphi \circ u_s = u_{\varphi_U(s)} \ne 0$ です。よって $(\mathcal{O}_{U!})_U$ は生成集合です（開集合の全体は小さい集合）。(1) により余積があるので、$\bigoplus_U \mathcal{O}_{U!}$ は生成子です（補題 6.6［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の (1)）。

(4) (1)、(2)、(3) により、$\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ は AB5 を満たし生成子をもつアーベル圏、すなわち Grothendieck 圏です。Grothendieck 圏は十分に入射対象をもちます（定理 7.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。

∎

層の圏は一般に十分な射影対象をもちません。$\mathcal{O}_{U!}$ は $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_{U!}, -) = \Gamma(U, -)$ が完全でないので射影対象ではなく、これが層のコホモロジーを入射分解で定義する理由です。

9. 例

例 9.1（正則関数の層：一致の定理と茎）

$\mathbb{C}$ の開集合 $U$ に、$U$ 上の正則関数の環 $\mathcal{O}(U)$ を対応させると、正則性は各点の近傍で決まる条件なので、例 2.4 の (1) と同じ理由で環の層になります。茎 $\mathcal{O}_a$ の元は、$a$ の近傍で定義された正則関数の芽です。Taylor 展開（定理 5.2［正則関数の強力な性質］）により、芽は $a$ を中心とする収束冪級数と 1 対 1 に対応します。

連続関数の層との違いは一致の定理に現れます。$U$ が連結なら、$f, g \in \mathcal{O}(U)$ が一点 $a \in U$ で同じ芽をもてば $f = g$ です（$a$ の近傍で一致するので、定理 7.3［正則関数の強力な性質］ が使える）。つまり $\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}_a$ は単射です。連続関数では、$a$ の近傍で $0$ だが $U$ 全体では $0$ でない関数があるので、$C(U) \to C_a$ は単射ではありません。記事 アフィン代数多様体と座標環 の正則関数も、既約性のおかげで同じ一致の原理を満たしていました。

$f(a) \ne 0$ なら $1/f$ は $a$ の近傍で正則なので、$\mathcal{O}_a$ の単元でない元の全体は $\{ f_a : f(a) = 0 \}$ で、これはイデアルです。したがって $\mathcal{O}_a$ は局所環です。

例 9.2（指数写像：茎では全射、切断では全射でない）

$X = \mathbb{C} \setminus \{0\}$ とし、$\mathcal{O}$ を $X$ 上の正則関数の層、$\mathcal{O}^*$ を「$U$ 上で $0$ にならない正則関数の全体（乗法群）」の層とします。$\exp\colon \mathcal{O} \to \mathcal{O}^*$、$h \mapsto e^h$ は Abel 群の層の射です（$e^{h + h'} = e^he^{h'}$。命題 6.3［正則関数とコーシー・リーマンの関係式］）。

茎では全射。 $g \in \mathcal{O}^*(V)$、$p \in V$ とします。$c = \operatorname{Log} g(p)$ とおくと $e^c = g(p)$ です（定義 6.7［正則関数とコーシー・リーマンの関係式］ と指数関数の定義から $e^{\operatorname{Log} w} = |w|e^{i\operatorname{Arg} w} = w$）。$g$ は連続なので、$W = \{ z \in V : \operatorname{Re}(g(z)/g(p)) > 0 \}$ は $p$ の開近傍です。$W$ の上で $g/g(p)$ は $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ に値を取るので、$h = c + \operatorname{Log}(g/g(p))$ は $W$ 上の正則関数で、$e^h = g(p) \cdot g/g(p) = g$ です（定理 6.9［正則関数とコーシー・リーマンの関係式］）。よって $\exp_p(h_p) = g_p$ で、定理 5.2 の (2) により $\exp$ は epi です。

大域切断では全射でない。 座標関数 $z \in \mathcal{O}^*(X)$ が $z = e^h$（$h \in \mathcal{O}(X)$）と書けたとします。微分すると $1 = h'e^h = h'z$、すなわち $h' = 1/z$ で、$1/z$ が $X$ 上に原始関数をもつことになり、系 3.3［コーシーの積分定理と積分公式］ に反します。

核と指数完全列。 $e^h = 1$ なら $h'e^h = 0$ から $h' = 0$ で、$h$ は局所定数（命題 5.8［正則関数とコーシー・リーマンの関係式］ を各点の円板に使う）、その値 $x + iy$ は $e^x = 1$、$\cos y = 1$、$\sin y = 0$ を満たすので $2\pi i\mathbb{Z}$ に属します。逆に $2\pi i\mathbb{Z}$ に値を取る局所定数関数は $\exp$ の核に属します。よって

$$0 \longrightarrow (2\pi i\mathbb{Z})_X \longrightarrow \mathcal{O} \xrightarrow{\ \exp\ } \mathcal{O}^* \longrightarrow 0$$

は層の完全列です（指数完全列）。同じ議論は $\mathbb{C}$ の任意の開集合で成り立ちます。大域切断を取った $0 \to 2\pi i\mathbb{Z} \to \mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}^*(X)$ は完全（命題 6.2）ですが、右端は全射ではありません。前層 $U \mapsto \mathcal{O}^*(U)/\exp(\mathcal{O}(U))$ は $U = X$ で $0$ でない群を与えるのに、すべての茎が $0$ なので、層ではなく、層化は $0$ です。

例 9.3（摩天楼層と不連続な切断の層）

補題 6.4 により $\operatorname{Hom}(\mathcal{F}, x_*M) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal{F}_x, M)$ です。茎を取る関手は完全（定理 5.2 の (4)）なので、$M$ が入射的な Abel 群なら $x_*M$ は $\mathsf{Ab}(X)$ の入射対象です（命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の (1)）。

Abel 群の層 $\mathcal{F}$ に対し、

$$\mathcal{C}^0(\mathcal{F})(U) = \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x$$

（制限は族の制限）は層で、芽の族のうち連続性にあたる条件を何も課さないもの、つまり不連続な切断の層です（Godement）。$s \mapsto (s_x)_{x \in U}$ は単射な射 $\mathcal{F} \to \mathcal{C}^0(\mathcal{F})$ を与えます（補題 4.2 の (5)）。$\mathcal{C}^0(\mathcal{F})$ の制限写像はすべて全射です。このような層を脆弱層といい、代数幾何 II でコホモロジーの計算に使います。各 $\mathcal{F}_x$ を入射的な Abel 群 $I_x$ に埋め込めば、$U \mapsto \prod_{x \in U} I_x$ は入射対象 $x_*I_x$ の積で、$\mathcal{F}$ はそこに埋め込まれます。これは 定理 8.2 の (4) の、より具体的な構成になっています。

10. 演習

演習 10.1易

$M$ を Abel 群とする。例 2.4 の定数前層 $P$ の層化は、定数層 $M_X$ と同型であることを示せ。また $X = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ のとき $\Gamma(X, M_X)$ を求めよ。

解答

前層の射 $\varphi\colon P \to M_X$ を、$m \in P(U) = M$（$U \ne \varnothing$）に値 $m$ の定数関数を対応させて定めます。層化の普遍性（定理 4.3 の (2)）により $\tilde\varphi\colon P^+ \to M_X$ で $\tilde\varphi\theta = \varphi$ となるものがあります。

茎を調べます。$P_x = M$ です。$(M_X)_x$ の元は $x$ の近傍での局所定数関数の芽で、局所定数関数は $x$ のある近傍で定数 $f(x)$ に等しいので、芽は値 $f(x)$ で決まり、$(M_X)_x \cong M$、$\varphi_x$ は全単射です。$\theta_x$ は同型（定理 4.3 の (1)）なので $\tilde\varphi_x = \varphi_x\theta_x^{-1}$ も全単射で、命題 3.2 の (3) により $\tilde\varphi$ は同型です。

$X = \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ では、局所定数関数は連結な 2 つの区間のそれぞれの上で定数なので、$\Gamma(X, M_X) \cong M \oplus M$ です。定数前層の $P(X) = M$ とは異なります。

演習 10.2標準

$X = \mathbb{R}$、$Z = \{0, 1\}$、$i\colon Z \to X$ を包含とし、$\mathcal{F} = \mathbb{Z}_X$ を定数層とする。

1. $\mathcal{F} \to i_*(\mathcal{F}|_Z)$ は epi であることを示せ。
2. 大域切断を取った写像 $\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, i_*(\mathcal{F}|_Z))$ を求め、全射でないことを示せ。
3. $1$ 点空間への写像 $p\colon X \to \{*\}$ について、$p_*$ が右完全でないことを導け。

解答

(1) 命題 7.2 の (4) の完全列の右側の射なので epi です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。

(2) $\mathbb{R}$ は連結なので、局所定数関数 $\mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ は定数で、$\Gamma(X, \mathcal{F}) = \mathbb{Z}$ です。$Z$ は離散空間で、$\{0\}$ と $\{1\}$ は交わらない開集合なので、層の条件から $(\mathcal{F}|_Z)(Z) = (\mathcal{F}|_Z)(\{0\}) \times (\mathcal{F}|_Z)(\{1\})$ です。$\{0\}$ は点 $0$ の最小の開近傍なので $(\mathcal{F}|_Z)(\{0\})$ は茎 $(\mathcal{F}|_Z)_0 = \mathcal{F}_0 = \mathbb{Z}$（定理 6.3 の (1)）で、$\{1\}$ も同様です。よって $\Gamma(X, i_*(\mathcal{F}|_Z)) = \mathbb{Z}^2$ で、写像は切断をその芽に写すので $n \mapsto (n, n)$ です。$(0, 1)$ は像に入りません。

(3) $1$ 点空間の開集合は $\varnothing$ と全体だけなので、その上の層は Abel 群 $\mathcal{G}(\{*\})$ と同じもので、$p_*\mathcal{G} = \Gamma(X, \mathcal{G})$ です。(1) の epi が (2) で全射でない写像に写るので、$p_*$ は epi を保たず、右完全ではありません。局所的には $0$ の近くと $1$ の近くで別々の整数を選べますが、それらを $\mathbb{R}$ 全体の局所定数関数につなぐことはできない、ということです。

演習 10.3標準

連続写像 $f\colon X \to Y$、$X$ 上の層 $\mathcal{F}$、点 $x \in X$ に対し、写像 $\nu_x\colon (f_*\mathcal{F})_{f(x)} \to \mathcal{F}_x$ を $(V, s)$ の類に $(f^{-1}(V), s)$ の類を対応させて定める。

1. $\nu_x$ が矛盾なく定まることを確かめよ。
2. $j\colon U = \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ を包含、$\mathcal{F} = \mathbb{Z}_U$ とする。$(j_*\mathcal{F})_0$ と $(j_!\mathcal{F})_0$ を求めよ。
3. $p\colon X \to \{*\}$ を $1$ 点への写像とする。$X = \mathbb{R}$ で $\mathcal{F}$ が連続関数の層のとき $\nu_0$ は全射だが単射でなく、$X = \mathbb{C}$ で $\mathcal{F}$ が正則関数の層のとき $\nu_0$ は単射だが全射でないことを示せ。

解答

(1) $s \in (f_*\mathcal{F})(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ で、$f^{-1}(V)$ は $x$ の開近傍です。$(V, s)$ と $(V', s')$ が同値なら、$f(x) \in V'' \subseteq V \cap V'$ で $s|_{f^{-1}(V'')} = s'|_{f^{-1}(V'')}$ となる $V''$ があり、$f^{-1}(V'')$ は $x$ の開近傍なので、$\mathcal{F}_x$ での類は等しくなります。

(2) $0$ の開近傍として区間 $V = (-\varepsilon, \varepsilon)$ だけを考えれば茎を計算できます。$(j_*\mathcal{F})(V) = \mathbb{Z}_U((-\varepsilon, 0) \cup (0, \varepsilon)) = \mathbb{Z}^2$（演習 10.1 と同じ理由）で、$\varepsilon$ を小さくする制限写像は恒等写像なので $(j_*\mathcal{F})_0 = \mathbb{Z}^2$ です。一方 $0 \notin U$ なので $(j_!\mathcal{F})_0 = 0$ です（命題 7.2 の (1)）。$j_*$ は境界の点の茎に、近くの切断の情報を集めます。

(3) $(p_*\mathcal{F})_* = \Gamma(X, \mathcal{F})$ で、$\nu_0$ は大域切断をその $0$ での芽に写します。連続関数の場合: $(-\varepsilon, \varepsilon)$ 上の連続関数 $g$ に対し、$[-\varepsilon/2, \varepsilon/2]$ の上では $g$、その外では端点の値に等しい関数は $\mathbb{R}$ 上連続で、$0$ での芽は $g$ の芽に等しいので、$\nu_0$ は全射です。$|x| \le 1$ で $0$、$|x| > 1$ で $|x| - 1$ となる連続関数は $0$ でないのに芽が $0$ なので、単射ではありません。正則関数の場合: $\mathbb{C}$ は連結なので、一致の定理（例 9.1）により $\nu_0$ は単射です。$1/(1 - z)$ の $0$ での芽が整関数 $F$ の芽だとすると、$|z| < 1$ で $(1 - z)F(z) = 1$ で、一致の定理によりこの等式は $\mathbb{C}$ 全体で成り立ちますが、$z = 1$ で左辺は $0$ です。よって全射ではありません。

演習 10.4標準

1. $X = \mathbb{R}$、$U = (0, 1)$、$j\colon U \to X$ を包含とする。$\operatorname{Supp} j_!(\mathbb{Z}_U)$ を求め、閉集合でないことを確かめよ。
2. $X$ のすべての $1$ 点集合が閉集合であるとする。任意の部分集合 $S \subseteq X$ に対し、$\operatorname{Supp}\mathcal{F} = S$ となる Abel 群の層 $\mathcal{F}$ を作れ。

解答

(1) 命題 7.2 の (1) により、茎は $x \in U$ で $\mathbb{Z}$、$x \notin U$ で $0$ です。よって台は $(0, 1)$ で、$\mathbb{R}$ の閉集合ではありません。

(2) $\mathcal{F} = \bigoplus_{x \in S} x_*\mathbb{Z}$ とおきます。摩天楼層 $x_*\mathbb{Z}$ の $y$ での茎を求めます。$y = x$ なら、$x$ の開近傍の上の値はすべて $\mathbb{Z}$ で制限は恒等写像なので茎は $\mathbb{Z}$ です。$y \ne x$ なら、$\{x\}$ が閉なので $X \setminus \{x\}$ は $y$ の開近傍で、その上の値は $0$ だから茎は $0$ です。茎は直和と交換する（定理 8.2 の (1)）ので、$\mathcal{F}_y = \bigoplus_{x \in S} (x_*\mathbb{Z})_y$ は $y \in S$ なら $\mathbb{Z}$、$y \notin S$ なら $0$ です。よって $\operatorname{Supp}\mathcal{F} = S$ です。有限生成でない層の台には、位相的な制約がほとんどありません。連接層の台が閉集合になること（記事 準連接層・連接層と直線束）は、有限性の帰結です。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter II §1（層）、Chapter III §2（層の圏の入射対象）。
• R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958 — Chapitre II（層の一般論、不連続な切断による分解）。
• A. Grothendieck, “Sur quelques points d’algèbre homologique”, Tôhoku Mathematical Journal 9 (1957) — AB5 と生成子をもつアーベル圏が十分に入射対象をもつこと、層の圏への応用。
• M. Kashiwara, P. Schapira, Sheaves on Manifolds, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 292, Springer, 1990 — Chapter II（層の演算）。
• The Stacks Project Authors, The Stacks Project, Chapter 6: Sheaves on Spaces（Tag 006A） — 開基の上の層、層化、順像と逆像。
• 上野健爾『代数幾何』岩波書店、2005 — 層とスキームを扱う章。