環付き空間・加群の層

1. $\mathcal{O}$ を $X$ 上の環の前層とする。$\mathcal{O}$ 加群の前層とは、Abel 群の前層 $\mathcal{F}$ で、各 $\mathcal{F}(U)$ に $\mathcal{O}(U)$ 加群の構造が与えられ、$a \in \mathcal{O}(U)$、$s \in \mathcal{F}(U)$、$V \subseteq U$ について $(as)|_V = a|_V \cdot s|_V$ となるものをいう。それが層のとき $\mathcal{O}$ 加群の層（または単に $\mathcal{O}$ 加群）という。射は、各 $\varphi_U$ が $\mathcal{O}(U)$ 線形である前層の射とする。$\mathcal{O}$ 加群の層の圏を $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ と書く。
2. 位相空間 $X$ と $X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ の組 $(X, \mathcal{O}_X)$ を環付き空間といい、$\mathcal{O}_X$ を構造層という。

$\mathcal{O}$ として、すべての開集合に $\mathbb{Z}$ を、すべての制限写像に恒等写像を対応させる環の前層を取ると、$\mathcal{O}$ 加群の層は Abel 群の層と同じものである。したがって $\mathsf{Ab}(X)$ と、環付き空間の $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ は、どちらも $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ の特別な場合である。以下、とくに断らなければ $\mathcal{O}$ は $X$ 上の環の前層を表す。