開基の上の前層と層

$\mathcal{B}$ を $X$ の開基（定義 5.1［位相空間の定義と基本概念］）とする。$\mathcal{B}$ の上の前層とは、$U \in \mathcal{B}$ ごとの Abel 群（または環、集合）$\mathcal{F}(U)$ と、$\mathcal{B}$ の元の包含 $V \subseteq U$ ごとの制限写像 $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$ で、定義 2.1 と同じ関手性を満たすものをいう。射も同様に定める。

$\mathcal{B}$ の上の前層 $\mathcal{F}$ が $\mathcal{B}$ の上の層であるとは、任意の $U \in \mathcal{B}$ と、$\mathcal{B}$ の元による任意の被覆 $U = \bigcup_i U_i$ について次が成り立つことをいう: $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ の族が、「$W \in \mathcal{B}$、$W \subseteq U_i \cap U_j$ ならば $s_i|_W = s_j|_W$」を満たすとき、すべての $i$ で $s|_{U_i} = s_i$ となる $s \in \mathcal{F}(U)$ がただ一つ存在する。

$x \in X$ での茎を $\mathcal{F}_x = \varinjlim_{x \in U \in \mathcal{B}} \mathcal{F}(U)$ と定める（$\mathcal{B}$ が開基なので、$x$ を含む $U, V \in \mathcal{B}$ に対し $x \in W \subseteq U \cap V$ となる $W \in \mathcal{B}$ があり、添字集合は有向である）。$X$ 上の前層 $\mathcal{G}$ の $\mathcal{B}$ への制限を $\mathcal{G}|_{\mathcal{B}}$ と書く。