層

$X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ が層であるとは、任意の開集合 $U$ とその任意の開被覆 $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ について次の 2 条件が成り立つことをいう。

• （局所性）$s, t \in \mathcal{F}(U)$ がすべての $i$ で $s|_{U_i} = t|_{U_i}$ を満たせば、$s = t$。
• （貼り合わせ）$s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ の族がすべての $i, j$ で $s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$ を満たせば、すべての $i$ で $s|_{U_i} = s_i$ となる $s \in \mathcal{F}(U)$ が存在する。

2 条件をあわせると、図式

が等化子（定義 2.4［極限と余極限］）である、ということになる。ここで左の射は $s \mapsto (s|_{U_i})_i$、右の 2 本は $(s_i)_i \mapsto (s_i|_{U_i \cap U_j})_{i,j}$ と $(s_i)_i \mapsto (s_j|_{U_i \cap U_j})_{i,j}$ である。層の間の射は前層としての射とし、Abel 群の層の圏を $\mathsf{Ab}(X)$ と書く。これは $\mathsf{PAb}(X)$ の充満部分圏である。