順像・逆像・制限・摩天楼層

$f\colon X \to Y$ を連続写像とする。

1. $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ に対し、$(f_*\mathcal{F})(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ で定まる $Y$ 上の層 $f_*\mathcal{F}$ を順像という（$V$ の開被覆の逆像は $f^{-1}(V)$ の開被覆なので層になる）。射 $\varphi$ には $(f_*\varphi)_V = \varphi_{f^{-1}(V)}$ を対応させる。$\mathcal{F}$ が $\mathcal{O}$ 加群なら $f_*\mathcal{F}$ は $f_*\mathcal{O}$ 加群である。
2. $Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ に対し、$X$ 上の前層

（$V$ は $f(U)$ を含む $Y$ の開集合を動く。逆向きの包含で有向）の層化を $f^{-1}\mathcal{G}$ と書き、逆像という。$U' \subseteq U$ のとき、$f(U)$ を含む $V$ は $f(U')$ も含むので、制限写像 $(f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})(U) \to (f^{\mathrm{p}}\mathcal{G})(U')$ が類 $[V, s]$ を類 $[V, s]$ に写すことで定まる。 3. 部分空間 $Z \subseteq X$ の包含 $i\colon Z \to X$ について $\mathcal{F}|_Z = i^{-1}\mathcal{F}$ と書き、制限という。$Z = U$ が開集合なら、$W \subseteq U$ について $f(W) = W$ を含む最小の開集合が $W$ 自身なので $(i^{\mathrm{p}}\mathcal{F})(W) = \mathcal{F}(W)$ で、これは層だから $(\mathcal{F}|_U)(W) = \mathcal{F}(W)$ である。 4. 点 $x \in X$ と Abel 群（または $\mathcal{O}_x$ 加群）$M$ に対し、$x \in U$ なら $M$、$x \notin U$ なら $0$ を対応させ、制限写像を恒等写像か零写像とする層を摩天楼層といい $x_*M$ と書く。$1$ 点空間からの包含 $\{x\} \to X$ による順像である。$\mathcal{O}(U)$ は $\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}_x$ を通して作用する。