位相空間上の前層

$X$ を位相空間とし、$X$ の開集合を対象、包含 $V \subseteq U$ を射 $V \to U$ とする圏を $\mathsf{Open}(X)$ と書く。関手 $\mathcal{F}\colon \mathsf{Open}(X)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ を $X$ 上の Abel 群の前層という（集合値の場合は 定義 2.1［米田の補題と表現可能関手］ の前層）。すなわち前層は

• 開集合 $U$ ごとの Abel 群 $\mathcal{F}(U)$、
• 包含 $V \subseteq U$ ごとの準同型 $\rho^U_V\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$（制限写像）

からなり、$\rho^U_U = \mathrm{id}$、$W \subseteq V \subseteq U$ について $\rho^V_W \circ \rho^U_V = \rho^U_W$ を満たす。$\mathcal{F}(U)$ の元を $U$ 上の切断といい、$\rho^U_V(s)$ を $s|_V$ と書く。$\mathcal{F}(U)$ を $\Gamma(U, \mathcal{F})$ とも書き、$\Gamma(X, \mathcal{F})$ の元を大域切断という。

前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ とは自然変換、すなわち準同型の族 $\varphi_U\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ で $\varphi_V(s|_V) = \varphi_U(s)|_V$ を満たすものをいう。Abel 群の前層の圏を $\mathsf{PAb}(X)$ と書く。$\mathsf{Ab}$ を集合の圏、環の圏に取り替えたものを集合の前層、環の前層という。