茎・芽

$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層、$x \in X$ とする。$x$ を含む開集合の全体は、逆向きの包含を順序として有向集合をなす（$U, V$ に対し $U \cap V$ が上界）。その上の順極限（定義 6.1［極限と余極限］）

を $\mathcal{F}$ の $x$ での茎という。命題 6.3［極限と余極限］ と 系 6.5［極限と余極限］ の (1) により、$\mathcal{F}_x$ の元は組 $(U, s)$（$x \in U$、$s \in \mathcal{F}(U)$）の同値類で、$(U, s)$ と $(V, t)$ が同値であるのは、$x$ を含む開集合 $W \subseteq U \cap V$ で $s|_W = t|_W$ となるものがあるときである。$(U, s)$ の類を $s_x$ と書き、$s$ の $x$ での芽という。演算は $s_x + t_x = (s|_W + t|_W)_x$ で定まる。

$\mathcal{O}$ が環の前層なら $\mathcal{O}_x$ は環で、$\mathcal{O}$ 加群の前層 $\mathcal{F}$ の茎 $\mathcal{F}_x$ は $a_x s_x = (a|_W s|_W)_x$ により $\mathcal{O}_x$ 加群になる。前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ は $\varphi_x(s_x) = (\varphi_U(s))_x$ により準同型 $\varphi_x\colon \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x$ を定め、$(\psi\varphi)_x = \psi_x\varphi_x$ である。