開基の上の層の延長

$\mathcal{B}$ を $X$ の開基とする（値は Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）。

1. $\mathcal{F}$ を $\mathcal{B}$ の上の層とする。$X$ 上の層 $\widetilde{\mathcal{F}}$ と、$U \in \mathcal{B}$ ごとの同型 $\theta_U\colon \mathcal{F}(U) \to \widetilde{\mathcal{F}}(U)$ で制限写像と両立するものが存在する。茎について $\widetilde{\mathcal{F}}_x \cong \mathcal{F}_x = \varinjlim_{x \in U \in \mathcal{B}} \mathcal{F}(U)$ である。
2. $\mathcal{G}, \mathcal{H}$ を $X$ 上の層とする。制限 $\varphi \mapsto \varphi|_{\mathcal{B}}$ は、層の射 $\mathcal{G} \to \mathcal{H}$ の全体から、$\mathcal{B}$ の上の前層の射 $\mathcal{G}|_{\mathcal{B}} \to \mathcal{H}|_{\mathcal{B}}$ の全体への全単射である。
3. (1) の組 $(\widetilde{\mathcal{F}}, \theta)$ は、$\theta$ と両立する同型を除いて一意である。