層の貼り合わせ

$X = \bigcup_{i \in I} U_i$ を開被覆とし、$U_{ij} = U_i \cap U_j$、$U_{ijk} = U_i \cap U_j \cap U_k$ と書く。各 $i$ に $U_i$ 上の層 $\mathcal{F}_i$（Abel 群、環、加群、集合のどれでもよい）が、各 $i, j$ に同型 $\varphi_{ij}\colon \mathcal{F}_i|_{U_{ij}} \to \mathcal{F}_j|_{U_{ij}}$ が与えられ、

（コサイクル条件）を満たすとする。このとき $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ と同型 $\psi_i\colon \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{F}_i$ で、$U_{ij}$ の上で $\psi_j = \varphi_{ij} \circ \psi_i$ となるものが存在する。組 $(\mathcal{F}, (\psi_i))$ は、$\psi_i$ と両立する同型を除いて一意である。

また、$X$ 上の層 $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ と、射 $\rho_i\colon \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{G}|_{U_i}$ の族で $\rho_i|_{U_{ij}} = \rho_j|_{U_{ij}}$ を満たすものに対し、$\rho|_{U_i} = \rho_i$ となる射 $\rho\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ がただ一つ存在する。