射とスキームの貼り合わせ

1. （射の貼り合わせ）$X, Y$ を局所環付き空間、$X = \bigcup_i U_i$ を開被覆とし、射 $f_i\colon U_i \to Y$ の族が $f_i|_{U_i \cap U_j} = f_j|_{U_i \cap U_j}$ を満たすとする。このとき $f|_{U_i} = f_i$ となる射 $f\colon X \to Y$ がただ一つ存在する。
2. （スキームの貼り合わせ）スキームの族 $(X_i)_{i \in I}$、開部分スキーム $U_{ij} \subseteq X_i$（$U_{ii} = X_i$）、スキームの同型 $\varphi_{ij}\colon U_{ij} \to U_{ji}$ が与えられ、すべての $i, j, k$ で

を満たすとする。このときスキーム $X$ と射 $\psi_i\colon X_i \to X$ で、各 $\psi_i$ は $X$ の開部分スキーム $X'_i$ への同型、$X = \bigcup_i X'_i$、$\psi_i(U_{ij}) = X'_i \cap X'_j$、$U_{ij}$ の上で $\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i$ となるものが存在する。 3. （普遍性）(2) の $(X, (\psi_i))$ について、任意の局所環付き空間 $Y$ に対し、$g \mapsto (g \circ \psi_i)_i$ は、射 $X \to Y$ の全体から、$g_j \circ \varphi_{ij} = g_i|_{U_{ij}}$ を満たす射の族 $(g_i\colon X_i \to Y)_i$ の全体への全単射である。したがって $(X, (\psi_i))$ は $\psi_i$ と両立する同型を除いて一意である。