数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

正規化の存在と普遍性

定理 4.2（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§4） ・ ✓公理まで証明済み

XX を整スキームとする。

  1. 正規な整スキーム X~\widetilde{X} と支配的な射 ν ⁣:X~→X\nu\colon \widetilde{X} \to X で、次の普遍性をもつものが存在する：正規な整スキーム ZZ からの支配的な射 f ⁣:Z→Xf\colon Z \to X はすべて、f=ν∘gf = \nu \circ g となる射 g ⁣:Z→X~g\colon Z \to \widetilde{X} をただ一つもつ。(X~,ν)(\widetilde{X}, \nu) は同型を除いて一意で、XX の正規化という。
  2. アフィン開集合 U=Spec⁡A⊆XU = \operatorname{Spec} A \subseteq X について、ν−1(U)=Spec⁡A′\nu^{-1}(U) = \operatorname{Spec} A' である。ここで A′A' は K(X)K(X) における AA の整閉包である。とくに ν\nu はアフィン射で、K(X~)=K(X)K(\widetilde{X}) = K(X) である。
  3. XX が体 kk 上有限型の整スキームならば、ν\nu は有限射である。XX が代数閉体上の多様体なら X~\widetilde{X} も多様体で、dim⁡X~=dim⁡X\dim \widetilde{X} = \dim X である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 226 件、定義なども含めて 264 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。