純非分離拡大での整閉包の有限性

補題 6.6（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を標数指数 $p$ の体、 $y_1, \ldots, y_d$ を $k$ 上代数的に独立な元、 $P = k[y_1, \ldots, y_d]$ 、 $K_0 = k(y_1, \ldots, y_d)$ とする。 $M/K_0$ を有限次拡大で、 $p$ のある冪 $q$ についてすべての $x \in M$ で $x^q \in K_0$ となるものとする。このとき $M$ における $P$ の整閉包は有限生成 $P$ 加群である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 34 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
- 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 取り替え補題（代数的従属）✓補題 2.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
- ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大
  - 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
  - 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
UFD は整閉✓命題 3.3・整拡大
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環

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体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

純非分離拡大での整閉包の有限性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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