数学 › 代数学（群・環・体） › 多項式環と体の拡大
R が UFD なら R[x] も UFD
が UFD ならば多項式環 も UFD である。したがって 、体 上の 、 はいずれも UFD である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 15 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大
素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大
- 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
- 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
- 射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束
- 純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- 𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD✓定理 9.2・複素多様体と正則写像