数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › アフィン代数多様体と座標環

アフィン多様体の次元

定理 7.2（「アフィン代数多様体と座標環」§7） ・ ✓公理まで証明済み

XX をアフィン多様体とする。

  1. dim⁡X=dim⁡k[X]=trdeg⁡kk(X)\dim X = \dim k[X] = \operatorname{trdeg}_k k(X) で、有限である（右の 2 つは Krull 次元と超越次数。定義 2.1［Krull 次元と単項イデアル定理］、定義 2.5［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］）。
  2. dim⁡An=n\dim \mathbb{A}^n = n。
  3. f∈k[X]f \in k[X] が 00 でも単元でもなければ、VX(f)\mathbf{V}_X(f) は空でなく、そのすべての既約成分の次元は dim⁡X−1\dim X - 1 である。
  4. g∈k[x1,…,xn]g \in k[x_1, \ldots, x_n] が既約多項式なら、V(g)\mathbf{V}(g) は n−1n - 1 次元のアフィン多様体で I(V(g))=(g)\mathbf{I}(\mathbf{V}(g)) = (g) である。逆に、An\mathbb{A}^n の n−1n - 1 次元の既約な閉集合 ZZ は、ある既約多項式 gg により Z=V(g)Z = \mathbf{V}(g) と書ける。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 124 件、定義なども含めて 139 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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