多変数多項式環の次元

系 6.3（「Krull 次元と単項イデアル定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A \ne 0$ を Noether 環とすると、 $\dim A[x_1, \ldots, x_n] = \dim A + n$ である。とくに体 $k$ について $\dim k[x_1, \ldots, x_n] = n$ 、また $\dim \mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_n] = n + 1$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 77 件、定義なども含めて 89 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- 多項式環の素イデアルのファイバー✓補題 6.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
Jacobi 判定法と正則環✓系 9.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理

多変数多項式環の次元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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