Jacobi 判定法と正則環

系 9.5（「Kähler 微分と滑らかさの入口」§9）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を完全体、 $B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)$ とする。

すべての極大イデアル $\mathfrak{n}$ （引き戻し $P$ ）で $\operatorname{rank} J(P) = n - \dim B_{\mathfrak{n}}$ なら、 $B$ は正則環である。
$B$ が次元 $d$ の整域なら、 $B$ が正則環であることと、すべての極大イデアルで $\operatorname{rank} J(P) = n - d$ であることは同値である。
多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ は正則環である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 234 件、定義なども含めて 263 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Jacobi 判定法✓定理 9.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Jacobson 環上の有限型代数✓定理 5.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  - Jacobson 環の判定✓補題 5.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 局所化が体になる有限型代数✓補題 5.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
    整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 完全体の有限次拡大は分離的✓補題 9.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 切断から作る導分✓補題 6.4・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- Jacobi 行列による表示✓系 5.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 埋め込み次元・正則局所環・正則環定義 6.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 局所化と射影次元・Ext✓補題 2.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化の局所化✓補題 2.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理
- 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Jacobi 判定法と正則環

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）