素イデアルでの局所化は局所環

命題 3.10（「局所化と素イデアルのスペクトル」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{p}$ を環 $A$ の素イデアルとする。 $A_{\mathfrak{p}}$ は極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} = (A \setminus \mathfrak{p})^{-1}\mathfrak{p}$ をもつ局所環であり、その剰余体は

A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} \;\cong\; \operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 11 件

構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環
特殊化は付値環で実現できる✓補題 4.3・分離射・固有射と付値判定法
付値環の存在✓定理 2.4・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環
比較不能性✓定理 4.3・整拡大
平坦拡大の下降定理✓定理 5.6・整拡大
Jacobi 判定法✓定理 9.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
平坦な局所準同型と Spec の全射性✓系 6.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

素イデアルでの局所化は局所環

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 11 件

関連するノック 6 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 11 件