一般の Dedekind 環での基本等式

定理 8.2（「離散付値環と Dedekind 環」§8）・ ✓公理まで証明済み

定義 8.1 の状況で、次が成り立つ。

$\mathfrak{p}B \ne B$ であり、 $\mathfrak{p}B$ の素因子 $\mathfrak{P}_1, \ldots, \mathfrak{P}_g$ はちょうど $\mathfrak{p}$ の上にある $B$ の素イデアルである。各 $f_i$ は有限で、 $\sum_{i=1}^{g} e_if_i \le n$ である。
$B$ が有限生成 $A$ 加群なら $\sum_{i=1}^{g} e_if_i = n$ である。とくに $L/K$ が分離拡大なら等号が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 151 件、定義なども含めて 164 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

横たわり定理✓定理 4.4・整拡大
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環
- 加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
- 次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
捩れのない加群の剰余の長さ✓補題 7.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
- 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理
設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元

一般の Dedekind 環での基本等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件