分数イデアルの群

定理 4.7（「代数体の整数環と Dedekind 整域」§4）・ ✓公理まで証明済み

分数イデアルの全体は積について $A$ を単位元とするアーベル群をなし、 $\mathfrak{p}$ の逆元は $\mathfrak{p}^{-1}$ である。
任意の分数イデアル $\mathfrak{a}$ は、有限個を除いて $0$ の整数 $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$ により $\mathfrak{a} = \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})}$ と一意に表される（ $\mathfrak{p}$ は $0$ でない素イデアル全体を動く）。
$\mathfrak{a} \subseteq A$ であることと、すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \ge 0$ であることは同値である。
整イデアル $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ について、 $\mathfrak{a} \supseteq \mathfrak{b}$ ⇔ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \le v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{b})$ ⇔ $\mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{c}$ となる整イデアル $\mathfrak{c}$ がある（含むことは割ること）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
    PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
    素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
    余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
    線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →