数学 › 数論 › S 単数と Kummer 理論

整数環の基本事実

定理 2.2（「S 単数と Kummer 理論」§2） ・ ✓公理まで証明済み

KK を代数体とする。

  1. （イデアルの素因数分解） KK の 00 でない分数イデアル a\mathfrak{a} は、有限個を除いて 00 の整数 vp(a)v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) を用いて a=∏ppvp(a)\mathfrak{a} = \prod_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})} と一意に書ける。分数イデアルは積について群をなし、vpv_{\mathfrak{p}} は準同型である。特に vp:K×→Zv_{\mathfrak{p}} : K^{\times} \to \mathbb{Z} は準同型で、a∈OK  ⟺  a \in \mathcal{O}_K \iff すべての p\mathfrak{p} で vp(a)≥0v_{\mathfrak{p}}(a) \ge 0 が成り立つ。
  2. （類数の有限性） 分数イデアルの群を単項分数イデアルの部分群で割ったイデアル類群 ClK\mathrm{Cl}_K は有限群である。その位数 hKh_K を類数という。
  3. （格子） OK\mathcal{O}_K は階数 nn の自由 Z\mathbb{Z} 加群であり、j:K→Rr1×Cr2≅Rnj : K \to \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^n を実の埋め込みと各対から 1 つずつ選んだ虚の埋め込みを並べた写像とすると、j(OK)j(\mathcal{O}_K) の Z\mathbb{Z} 基底は R\mathbb{R} 上一次独立（つまり j(OK)j(\mathcal{O}_K) は Rn\mathbb{R}^n の格子）である。また α∈OK\alpha \in \mathcal{O}_K の特性多項式 ∏σ(x−σ(α))\prod_{\sigma}(x - \sigma(\alpha))（σ\sigma は nn 個の埋め込み全体）は Z\mathbb{Z} 係数であり、その定数項は ±N(α)\pm N(\alpha)、N(α):=∏σσ(α)∈ZN(\alpha) := \prod_\sigma \sigma(\alpha) \in \mathbb{Z} である。
  4. （拡大での分解） L/KL/K を代数体の有限次拡大とする。OL\mathcal{O}_L の素イデアル P\mathfrak{P} に対し p=P∩OK\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K は KK の素イデアルで（P∣p\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p} と書く）、pOL=∏P∣pPe(P∣p)\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \prod_{\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}} \mathfrak{P}^{e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})}（e(P∣p)≥1e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}) \ge 1）と分解する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 173 件、定義なども含めて 201 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件