Minkowski 限界

定理 4.2（「イデアル類群の有限性と Minkowski 限界」§4）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を次数 $n$ の代数体とし、

M_K := \frac{n!}{n^n}\left(\frac4\pi\right)^{r_2}\sqrt{|d_K|}

とおく。 $0$ でない任意の整イデアル $\mathfrak{a}$ は、 $|N(\alpha)| \le M_K\,N\mathfrak{a}$ を満たす $0 \neq \alpha \in \mathfrak{a}$ を含む。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 165 件、定義なども含めて 192 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ノルム球の体積✓補題 4.1・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形この先をたどる →
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
Minkowski の格子点定理✓定理 2.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）
- 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
判別式の下界✓系 4.4・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界

Minkowski 限界

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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