イデアル類群の有限性と Minkowski 限界：格子点の幾何で類数と単数を押さえる

0. この記事の要点

整数 $\mathbb{Z}$ では素因数分解が一通りですが、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ では $6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ のように二通りの分解ができてしまいます。この記事では、一意性がどれほど崩れるかを表す「類数」が必ず有限の数になることと、逆数も整数になる元（単数）の全体がどんな形をしているかを、方眼のように並ぶ点（格子）の中に点がいくつ入るかを面積で数える方法で示します。読み終えると、$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の類数が $2$ であることを手計算で確かめられるようになります。

• Minkowski の格子点定理（定理 2.3）：原点対称な凸集合の体積が格子の基本領域の $2^m$ 倍を超えれば、$0$ でない格子点を含みます。証明は平行移動と測度の比較だけです。
• 代数体 $K$ を埋め込み $j : K \to \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^n$ で実空間に置くと、整イデアル $\mathfrak{a}$ は余体積 $2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{a}$ の格子になります（命題 3.2）。
• 二つを組み合わせると、$\mathfrak{a}$ は $|N(\alpha)| \le M_K\,N\mathfrak{a}$、$M_K = \frac{n!}{n^n}\left(\frac4\pi\right)^{r_2}\sqrt{|d_K|}$ を満たす $\alpha \neq 0$ を含みます（Minkowski 限界、定理 4.2）。
• 帰結として、イデアル類群 $\mathrm{Cl}_K$ は有限で、ノルム $M_K$ 以下の素イデアルで生成されます（定理 4.3）。また $n \ge 2$ なら $|d_K| \gt 1$ です（系 4.4）。$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の類数は $2$ と計算できます（例 5.2）。
• 同じ道具で Dirichlet の単数定理 $\mathcal{O}_K^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1}$ を証明します（定理 6.1）。

この記事で使う事前知識

• 整数環と判別式 $d_K$: 代数体 $K$ の整数全体 $\mathcal{O}_K$ と、その整基底を各埋め込みで写した行列の行列式の 2 乗として決まる整数。→ 代数体の整数環と Dedekind 整域
• イデアルのノルム $N\mathfrak{a}$: 剰余環 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}$ の元の個数（イデアルの「大きさ」）。→ イデアルのノルム
• 分数イデアル: $\mathcal{O}_K$ の分母を許したイデアルで、0 でないもの全体は掛け算について群をなす。→ 分数イデアル
• 行列式: 線形変換が体積を何倍にするかを表す数（絶対値）。→ 行列式
• ルベーグ測度: $\mathbb{R}^d$ の集合の体積を測る測度で、平行移動しても値が変わらない。→ ルベーグ測度

1. 動機

代数体の整数環と Dedekind 整域 で、整数環 $\mathcal{O}_K$ ではイデアルが素イデアルに一意分解することを見ました。元の分解が一意になるかどうかは、すべてのイデアルが単項かどうか、つまりイデアル類群

$$\mathrm{Cl}_K = \{\text{分数イデアル}\} / \{\text{単項分数イデアル}\}$$

が自明かどうかで決まります。代数的整数論の二大有限性定理は、(1) この群が有限であること、(2) 単数群 $\mathcal{O}_K^{\times}$ が有限生成であることです。どちらも代数だけでは証明できず、「格子の中の点を体積で数える」という Minkowski の幾何学的な発想を使います。

アイデアは素朴です。$\mathcal{O}_K$ を $\mathbb{R}^n$ の格子と見ると、ノルムの小さい元は原点の近くの格子点です。十分大きな対称凸集合は格子点を必ず含むので、どのイデアルにも「イデアルの大きさの割にノルムが小さい元」が存在します。これが類群の各類に小さなノルムの代表があることを意味し、有限性につながります。

既出の章から使うもの。 整数環・判別式・イデアルのノルムは前章、ルベーグ測度の平行移動不変性と線形変換による変化は R^d の変数変換、累次積分は 直積測度と Fubini の定理 です。$\mathrm{vol}$ は $\mathbb{R}^m$ のルベーグ測度を表します。

2. 格子と Minkowski の格子点定理

定義 2.1（格子と基本領域）↗

$\mathbb{R}^m$ の $\mathbb{R}$ 上一次独立なベクトル $w_1, \ldots, w_m$ の整数係数一次結合の全体 $\Lambda$ を格子、$F = \{\sum_i t_iw_i \mid 0 \le t_i \lt 1\}$ をその基本領域、$\mathrm{covol}(\Lambda) := \mathrm{vol}(F)$ を余体積という。

補題 2.2（基本領域の性質）✓

1. $\mathbb{R}^m = \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda}(F + \lambda)$（交わりのない和）。
2. 有界集合は $\Lambda$ の点を有限個しか含まない。
3. $W$ を $w_1, \ldots, w_m$ を列とする行列とすると $\mathrm{covol}(\Lambda) = |\det W|$。

証明（補題 2.2）

1. $W$ は正則なので、各点は $x = \sum t_iw_i$（$t_i \in \mathbb{R}$）と一意に書けます。$t_i = \lfloor t_i \rfloor + \{t_i\}$ と分けると $x \in F + \lambda$、$\lambda = \sum\lfloor t_i\rfloor w_i$ で、この $\lambda$ は $x$ から一意に決まります。
2. 座標 $x \mapsto W^{-1}x$ は連続な線形写像なので有界集合を有界集合に写し、そこに含まれる整数ベクトルは有限個です。
3. $F = W([0,1)^m)$ なので 定理 3.4［ℝ^d の変数変換公式と極座標］ から $\mathrm{vol}(F) = |\det W|$ です。

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定理 2.3（Minkowski の格子点定理）✓

$\Lambda \subseteq \mathbb{R}^m$ を格子とする。$X \subseteq \mathbb{R}^m$ が可測な凸集合で $X = -X$ かつ $\mathrm{vol}(X) \gt 2^m\,\mathrm{covol}(\Lambda)$ ならば、$X$ は $\Lambda$ の $0$ でない点を含む。$X$ がさらにコンパクトなら、$\mathrm{vol}(X) \ge 2^m\,\mathrm{covol}(\Lambda)$ で同じ結論が成り立つ。

証明の方針は鳩の巣原理です。$X$ を半分に縮めた $Y$ の体積が基本領域 $F$ より大きければ、$Y$ を $F$ の中へ格子ベクトルずつずらして重ねたとき、どこかで 2 枚が重なります。重なった点の差が、$X$ の中の $0$ でない格子点になります。

証明（定理 2.3）

$Y = \frac12X$ とおくと $\mathrm{vol}(Y) = 2^{-m}\mathrm{vol}(X) \gt \mathrm{vol}(F)$ です（系 3.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）。補題 2.2 の 1 と測度の可算加法性・平行移動不変性（補題 3.1［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）から

$$\mathrm{vol}(Y) = \sum_{\lambda \in \Lambda}\mathrm{vol}\bigl(Y \cap (F + \lambda)\bigr) = \sum_{\lambda \in \Lambda}\mathrm{vol}\bigl((Y - \lambda) \cap F\bigr)$$

です。集合 $(Y - \lambda) \cap F$ がどの 2 つも交わらなければ右辺は $\mathrm{vol}(F)$ 以下なので、$\lambda \neq \lambda'$ と $y, y' \in Y$ で $y - \lambda = y' - \lambda'$ となるものがあります。$x = 2y$、$x' = 2y' \in X$ とすると、$X = -X$ と凸性から $\lambda - \lambda' = y - y' = \frac12x + \frac12(-x') \in X$ で、これが求める $0$ でない格子点です。

コンパクトの場合：$X_k = (1 + \frac1k)X$ は体積が $2^m\mathrm{covol}(\Lambda)$ を真に超えるので、$0 \neq \lambda_k \in X_k \cap \Lambda$ があります。どれも有界集合 $2X$ に入るので 補題 2.2 の 2 から有限個の候補しかなく、ある $\lambda$ が無限個の $k$ で現れます。$\lambda/(1 + \frac1k) \in X$ で $k \to \infty$ とすると、$X$ が閉集合であることから $\lambda \in X$ です。

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格子（点）と、原点対称な凸集合（六角形）。面積が基本領域（灰色の平行四辺形）の 4 倍を超えると、原点以外の格子点を必ず含む

条件の $2^m$ は最良です。$\Lambda = \mathbb{Z}^m$ と開立方体 $X = (-1, 1)^m$（体積 $2^m$）では、$X$ の格子点は原点だけです。また対称性を外すと、原点を含まない大きな凸集合がいくらでも作れます。

3. 代数体を格子として見る

$K$ を次数 $n$ の代数体とし、実の埋め込みを $\rho_1, \ldots, \rho_{r_1}$、虚の埋め込みの共役対から 1 つずつ選んだものを $\rho_{r_1+1}, \ldots, \rho_{r_1+r_2}$ とします（$r_1 + 2r_2 = n$）。

定義 3.1（Minkowski 埋め込み）↗

$$j : K \to \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^n, \qquad j(\alpha) = \bigl(\rho_1(\alpha), \ldots, \rho_{r_1}(\alpha), \rho_{r_1+1}(\alpha), \ldots, \rho_{r_1+r_2}(\alpha)\bigr)$$

とし、$\mathbb{C}$ の成分 $z = u + iv$ を $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ と同一視する。$j$ は $\mathbb{Q}$ 線形である。

具体例で見ると、$\mathbb{Q}(i)$ では $j(a + bi) = (a, b)$ で整数環は正方格子、余体積は $1$ です。$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ では $j(a + b\sqrt{-5}) = (a, b\sqrt5)$ で縦に引き伸ばした長方形の格子、余体積は $\sqrt5$。$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ では $j(a + b\sqrt2) = (a + b\sqrt2,\ a - b\sqrt2)$ で斜めの格子、基底 $(1,1)$、$(\sqrt2, -\sqrt2)$ から余体積は $2\sqrt2$ です。次の命題は、これらが $2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}$（順に $1$、$\sqrt5$、$2\sqrt2$）に一致することを一般に示します。

命題 3.2（整イデアルの余体積）✓

$0$ でない整イデアル $\mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_K$ について、$j(\mathfrak{a})$ は $\mathbb{R}^n$ の格子であり

$$\mathrm{covol}\bigl(j(\mathfrak{a})\bigr) = 2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\;N\mathfrak{a}.$$

特に $j(\mathcal{O}_K)$ は余体積 $2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}$ の格子である。

証明（命題 3.2）

整基底 $\omega_1, \ldots, \omega_n$（定理 3.4［代数体の整数環と Dedekind 整域］）について、$j(\omega_k)$ を列とする実行列を $R$、すべての埋め込み $\rho_1, \ldots, \rho_{r_1}, \rho_{r_1+1}, \bar\rho_{r_1+1}, \ldots$ を行、$\omega_k$ を列とする複素行列を $\Omega$ とします。虚の対に対応する 2 行 $(\rho(\omega_k))_k$、$(\bar\rho(\omega_k))_k$ は、$R$ の 2 行 $u = \mathrm{Re}$、$v = \mathrm{Im}$ から $u + iv$、$u - iv$ として得られ、この行変形の行列 $\begin{pmatrix}1 & i\\ 1 & -i\end{pmatrix}$ の行列式は $-2i$ です。よって $|\det\Omega| = 2^{r_2}|\det R|$。命題 3.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 4 から $(\det\Omega)^2 = d_K$ なので $|\det R| = 2^{-r_2}\sqrt{|d_K|} \neq 0$。したがって $j(\omega_k)$ は $\mathbb{R}$ 上一次独立で、$j(\mathcal{O}_K)$ は格子、余体積は 補題 2.2 の 3 から $|\det R|$ です。

$\mathfrak{a}$ は $\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^n$ の部分群なので自由で（定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］）、$N\mathfrak{a} \cdot \mathcal{O}_K \subseteq \mathfrak{a}$（命題 5.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 4）から階数は $n$ です。基底を $\beta = P\omega$（$P \in M_n(\mathbb{Z})$）と書くと、定理 3.4［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 3 から $|\det P| = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}] = N\mathfrak{a}$。$j$ は線形なので $j(\beta)$ を列とする行列は $RP^{\mathsf{T}}$ で、行列式の絶対値は $2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{a}$ です。

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4. Minkowski 限界と類数の有限性

補題 4.1（ノルム球の体積）✓

$t \gt 0$ に対し $B_t := \{(x, z) \in \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \mid \sum_i|x_i| + 2\sum_j|z_j| \le t\}$ とおくと、$B_t$ はコンパクトな凸集合で $B_t = -B_t$、

$$\mathrm{vol}(B_t) = 2^{r_1}\left(\frac\pi2\right)^{r_2}\frac{t^n}{n!}.$$

証明（補題 4.1）

$\|(x, z)\| := \sum|x_i| + 2\sum|z_j|$ は三角不等式と $\|cw\| = |c|\,\|w\|$ を満たす連続関数なので、$B_t$ は有界閉集合で凸、原点対称です。体積を $V_{r_1, r_2}(t)$ と書きます。$B_t = tB_1$ なので $V_{r_1,r_2}(t) = c_{r_1,r_2}t^n$ です（系 3.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）。$n$ についての帰納法で $c_{r_1,r_2} = 2^{r_1}(\pi/2)^{r_2}/n!$ を示します。$n = 1$（$(r_1, r_2) = (1, 0)$）は区間 $[-t, t]$ で $2t$、$(0, 1)$ は半径 $t/2$ の円板で $\pi t^2/4$ です。

それ以外で $r_1 \ge 1$ のときは、最初の実座標 $x$ を固定した切り口が $B^{(r_1-1, r_2)}_{t - |x|}$ なので、Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）から

$$V_{r_1,r_2}(t) = \int_{-t}^{t}c_{r_1-1,r_2}(t - |x|)^{n-1}\,dx = \frac{2c_{r_1-1,r_2}}{n}t^n$$

で、$c_{r_1,r_2} = 2c_{r_1-1,r_2}/n$。$r_1 = 0$ なら $r_2 \ge 2$ で、最後の複素座標 $z$ を固定し、動径関数の積分 系 6.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］（$\sigma(S^1) = 2\pi$、定理 6.8［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）を使うと

$$V_{0,r_2}(t) = \int_{|z| \le t/2}c_{0,r_2-1}(t - 2|z|)^{n-2}\,dz = 2\pi c_{0,r_2-1}\int_0^{t/2}(t - 2\rho)^{n-2}\rho\,d\rho = \frac{\pi c_{0,r_2-1}}{2n(n-1)}t^n$$

です（$u = 2\rho$ と置換し $\int_0^t(t-u)^{n-2}u\,du = t^n/(n(n-1))$）。どちらの漸化式も主張の式を保ちます。

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定理 4.2（Minkowski 限界）✓

$K$ を次数 $n$ の代数体とし、

$$M_K := \frac{n!}{n^n}\left(\frac4\pi\right)^{r_2}\sqrt{|d_K|}$$

とおく。$0$ でない任意の整イデアル $\mathfrak{a}$ は、$|N(\alpha)| \le M_K\,N\mathfrak{a}$ を満たす $0 \neq \alpha \in \mathfrak{a}$ を含む。

方針は、ノルム球 $B_t$ の体積が格子の余体積の $2^n$ 倍になるように $t$ を選び、格子点定理で $B_t$ の中の格子点 $\alpha$ を取ることです。$B_t$ は座標の絶対値の「和」で決まりますが、知りたいノルム $|N(\alpha)|$ は「積」なので、和から積を押さえるために相加相乗平均の不等式を使います。複素成分 $z$ は $|N|$ に $|z|^2$ として効くため、$n$ 個の数のうち 2 個分として数えます。

証明（定理 4.2）

$t^n = n!\,(4/\pi)^{r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{a}$ と $t$ を選ぶと、補題 4.1 と 命題 3.2 から

$$\mathrm{vol}(B_t) = 2^{r_1}\pi^{r_2}2^{-r_2}\cdot\left(\frac4\pi\right)^{r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{a} = 2^n\cdot 2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{a} = 2^n\,\mathrm{covol}\bigl(j(\mathfrak{a})\bigr)$$

です（$r_1 + 2r_2 = n$）。定理 2.3 のコンパクト版により $0 \neq \alpha \in \mathfrak{a}$ で $j(\alpha) \in B_t$ となるものがあります。$|N(\alpha)| = \prod_{i \le r_1}|\rho_i(\alpha)|\prod_{j}|\rho_{r_1+j}(\alpha)|^2$ は、$|\rho_1(\alpha)|, \ldots, |\rho_{r_1}(\alpha)|$ と各 $|\rho_{r_1+j}(\alpha)|$ を 2 回ずつ並べた $n$ 個の数の積で、その和は $\|j(\alpha)\| \le t$ です。相加相乗平均の不等式（下の注）から

$$|N(\alpha)| \le \left(\frac tn\right)^n = \frac{n!}{n^n}\left(\frac4\pi\right)^{r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{a}.$$

相加相乗平均の不等式。 $a_1, \ldots, a_n \ge 0$、平均 $A \gt 0$ について、$g(x) = e^{x-1} - x$ は $g'(x) = e^{x-1} - 1$ から $x = 1$ で最小値 $0$ を取るので $x \le e^{x-1}$。$x = a_i/A$ として掛け合わせると $\prod_i(a_i/A) \le \exp(\sum_i a_i/A - n) = 1$ です（$A = 0$ なら両辺 $0$）。

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定理 4.3（類数の有限性）✓

$K$ を代数体とする。イデアル類群 $\mathrm{Cl}_K$ の各類は、$N\mathfrak{b} \le M_K$ を満たす整イデアル $\mathfrak{b}$ を含む。したがって $\mathrm{Cl}_K$ は有限群であり、ノルムが $M_K$ 以下の素イデアルの類で生成される。その位数 $h_K$ を類数という。

証明（定理 4.3）

類 $c$ を取り、$c^{-1}$ に属する分数イデアル $\mathfrak{a}$ を選びます。分数イデアルの定義（定義 4.6［代数体の整数環と Dedekind 整域］）から $d\mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_K$ となる $0 \neq d \in \mathcal{O}_K$ があり、$d\mathfrak{a} = (d\mathcal{O}_K)\mathfrak{a}$ も同じ類なので、$\mathfrak{a}$ は整イデアルとしてよいです。定理 4.2 の $\alpha \in \mathfrak{a}$ を取ると、$\alpha\mathcal{O}_K \subseteq \mathfrak{a}$ から $\alpha\mathcal{O}_K = \mathfrak{a}\mathfrak{b}$ となる整イデアル $\mathfrak{b}$ があり（定理 4.7［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 4）、$[\mathfrak{b}] = [\mathfrak{a}]^{-1} = c$、

$$N\mathfrak{b} = \frac{N(\alpha\mathcal{O}_K)}{N\mathfrak{a}} = \frac{|N(\alpha)|}{N\mathfrak{a}} \le M_K$$

です（命題 5.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 3）。

ノルムが $k$ の整イデアル $\mathfrak{b}$ は $k$ を含む（同 4）ので $k\mathcal{O}_K$ を割り、$k\mathcal{O}_K$ の約数は素イデアル分解の指数を小さくしたものだけなので有限個です。$k \le M_K$ は有限個なので、類も有限個です。最後に、$N\mathfrak{b} \le M_K$ の $\mathfrak{b}$ を素イデアルに分解すると、各因子のノルムは $N\mathfrak{b}$ を割るので $M_K$ 以下です。

∎

系 4.4（判別式の下界）✓

$n \ge 2$ ならば $\sqrt{|d_K|} \ge \dfrac{n^n}{n!}\left(\dfrac\pi4\right)^{n/2} \gt 1$。特に $|d_K| \gt 1$ である。

証明（系 4.4）

定理 4.2 を $\mathfrak{a} = \mathcal{O}_K$ に使うと、$0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ で $1 \le |N(\alpha)| \le M_K$（$N(\alpha)$ は $0$ でない整数）。よって $\sqrt{|d_K|} \ge \frac{n^n}{n!}(\pi/4)^{r_2} \ge \frac{n^n}{n!}(\pi/4)^{n/2}$（$r_2 \le n/2$、$\pi/4 \lt 1$）。右辺を $a_n$ とおくと $a_2 = \pi/2 \gt 1$、二項展開から $(1 + 1/n)^n \ge 2$ なので

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(1 + \frac1n\right)^n\sqrt{\frac\pi4} \ge \sqrt\pi \gt 1$$

で、$n \ge 2$ のすべてで $a_n \gt 1$ です。

∎

注意 4.5（Minkowski の定理と Hermite の定理）

$a_n$ は $n$ について指数関数的に増えるので、判別式の絶対値を固定すると次数は有界です。前章の 定理 6.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］（$p \mid d_K$ なら $p$ は分岐する）と合わせると、「$\mathbb{Q}$ と異なる代数体では必ずある素数が分岐する」（Minkowski）が従います（$|d_K| \gt 1$ なので $d_K$ は素因数を持ちます）。さらに、判別式が与えられた値の代数体は有限個しかないこと（Hermite）も、同じ格子点の議論を精密にして示せます（参考文献 [1] 第 III 章 §2）。

5. 類数の計算

二次体 $K = \mathbb{Q}(\sqrt m)$ では $n = 2$ で、$M_K = \frac12\sqrt{|d_K|}$（実二次体、$r_2 = 0$）、$M_K = \frac2\pi\sqrt{|d_K|}$（虚二次体、$r_2 = 1$）です。

例 5.1（類数 1 の例）

$\mathbb{Q}(i)$：$d_K = -4$、$M_K = 4/\pi \approx 1.27$。$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$：$d_K = -3$、$M_K \approx 1.10$。$\mathbb{Q}(\sqrt2)$：$d_K = 8$、$M_K = \sqrt2 \approx 1.41$。$\mathbb{Q}(\sqrt5)$：$d_K = 5$、$M_K \approx 1.12$。いずれも $M_K \lt 2$ なので、各類はノルム $1$ の整イデアル、すなわち $\mathcal{O}_K$ 自身を含みます。よって類数は $1$ で、これらの整数環は単項イデアル整域、したがって一意分解整域です（定理 2.5［多項式環と体の拡大］）。$\mathbb{Z}[i]$ が一意分解整域であることの、ユークリッド互除法を使わない証明になっています。

例 5.2（Q(√−5) の類数は 2）

$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$、$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$d_K = -20$ です（命題 8.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。$M_K = \frac2\pi\sqrt{20} \approx 2.85$ なので、定理 4.3 により $\mathrm{Cl}_K$ はノルム $2$ 以下の素イデアルで生成されます。ノルム $2$ の素イデアルは $2$ の上にあるものだけで、前章の 例 8.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ から $(2) = \mathfrak{p}^2$、$\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5})$ のただ一つです。

$\mathfrak{p}$ が単項 $(\alpha)$ なら $|N(\alpha)| = N\mathfrak{p} = 2$、つまり $a^2 + 5b^2 = 2$ が整数解を持つはずですが、$b \neq 0$ なら左辺は $5$ 以上、$b = 0$ なら $a^2 = 2$ で、解はありません。よって $[\mathfrak{p}] \neq 1$、一方 $[\mathfrak{p}]^2 = [(2)] = 1$ です。$\mathrm{Cl}_K = \{1, [\mathfrak{p}]\}$ で、$h_K = 2$ です。

前章の $(3) = \mathfrak{q}\mathfrak{q}'$、$(1 + \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}\mathfrak{q}$ から $[\mathfrak{q}] = [\mathfrak{p}]^{-1} = [\mathfrak{p}]$ で、$\mathfrak{q}$ も単項ではありません。$6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ という 2 通りの分解は、単項でない類 $[\mathfrak{p}]$ に属するイデアル $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}, \mathfrak{q}'$ の組み方の違いです。類数 $2$ の体では「既約元への分解の長さ」は一定になる（Carlitz の定理）ことも知られています。

6. Dirichlet の単数定理

$r := r_1 + r_2$ とし、$\delta_k = 1$（$k \le r_1$）、$\delta_k = 2$（$k \gt r_1$）とおきます。対数写像を

$$\ell : K^{\times} \to \mathbb{R}^r, \qquad \ell(\alpha) = \bigl(\delta_1\log|\rho_1(\alpha)|, \ldots, \delta_r\log|\rho_r(\alpha)|\bigr)$$

で定めると、これは準同型で、虚の埋め込みは共役と対になるので座標の和は $\log|N(\alpha)|$ です。$\mu_K$ は $K$ に含まれる 1 のべき根全体です。

定理 6.1（Dirichlet の単数定理）✓

$K$ を代数体とする。$\mu_K$ は有限巡回群であり、

$$\mathcal{O}_K^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1}$$

である。

証明のために二つの補題を用意します。単数の対数 $\ell(u)$ を並べた集合が、和が $0$ の超平面の中で格子のように並ぶことを示すのが目標で、前者はそれが離散的であること（したがって $\mathbb{Z}^k$ と同型であること）、後者は各方向に十分な単数が存在することを担います。

補題 6.2（離散部分群は自由）✓

$\Gamma \subseteq \mathbb{R}^m$ を部分群とし、任意の有界集合が $\Gamma$ の点を有限個しか含まないとする。$\Gamma$ が張る $\mathbb{R}$ 部分空間の次元を $k$ とすると、$\Gamma \cong \mathbb{Z}^k$ である。

証明（補題 6.2）

$\Gamma$ から一次独立な $v_1, \ldots, v_k$ を選び、それらが生成する部分群を $\Gamma_0 \cong \mathbb{Z}^k$、$P = \{\sum t_iv_i \mid 0 \le t_i \lt 1\}$ とします。$\gamma \in \Gamma$ は $\sum t_iv_i$ と書け、整数部分を引くと剰余類 $\gamma + \Gamma_0$ の代表が $\Gamma \cap P$ に取れます。$P$ は有界なので $\Gamma \cap P$ は有限で、指数 $N = [\Gamma : \Gamma_0]$ は有限です。剰余群の元の位数は $N$ を割るので $N\Gamma \subseteq \Gamma_0$。$\gamma \mapsto N\gamma$ は単射なので $\Gamma \cong N\Gamma$ は $\mathbb{Z}^k$ の部分群で、定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］ により高々 $k$ 個の元を基底とする自由加群です。$\Gamma \supseteq \Gamma_0 \cong \mathbb{Z}^k$ なので、$\mathbb{Q}$ 上に係数拡大した次元を比べて基底はちょうど $k$ 個です。

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補題 6.3（指定した方向に伸びる単数）✓

$r \ge 2$ とし、$k \in \{1, \ldots, r\}$ を固定する。$|\rho_i(u)| \lt 1$（$i \neq k$）を満たす $u \in \mathcal{O}_K^{\times}$ が存在する。

証明（補題 6.3）

$V = \mathrm{covol}(j(\mathcal{O}_K))$（命題 3.2）とし、$B := 2^{n}V/(2^{r_1}\pi^{r_2}) + 1$ とおきます。正の数 $c_1, \ldots, c_r$ で $\prod_k c_k^{\delta_k} = B$ となるものに対し、

$$X = \{\, (x, z) \in \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \mid |x_i| \le c_i,\ |z_j| \le c_{r_1+j} \,\}$$

は凸で $X = -X$、体積は $\prod_{i \le r_1} 2c_i \prod_{j} \pi c_{r_1+j}^2 = 2^{r_1}\pi^{r_2}B \gt 2^nV$ です。定理 2.3 より $0 \neq \beta \in \mathcal{O}_K$ で $|\rho_i(\beta)| \le c_i$（すべての $i$）となるものがあり、$|N(\beta)| = \prod_i|\rho_i(\beta)|^{\delta_i} \le B$ です。

$\alpha_1 = 1$ から始め、$\alpha_m$ が決まったら $c_i = |\rho_i(\alpha_m)|/2$（$i \neq k$）とし、$c_k$ を積の条件から決めて、上の $\beta$ を $\alpha_{m+1}$ とします。すると $|\rho_i(\alpha_{m+1})| \lt |\rho_i(\alpha_m)|$（$i \neq k$）かつ $1 \le |N(\alpha_{m+1})| \le B$ です。

命題 3.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 3 から $N(\alpha) \in \alpha\mathcal{O}_K$ なので、$M = \lfloor B \rfloor !$ とおくと、すべての $m$ で $M\mathcal{O}_K \subseteq \alpha_m\mathcal{O}_K$。$M\mathcal{O}_K$ を含むイデアルは有限群 $\mathcal{O}_K/M\mathcal{O}_K \cong (\mathbb{Z}/M)^n$ の部分群に対応するので有限個しかありません。したがって $l \lt m$ で $\alpha_l\mathcal{O}_K = \alpha_m\mathcal{O}_K$ となるものがあり、$u = \alpha_m/\alpha_l$ は単数で、$|\rho_i(u)| \lt 1$（$i \neq k$）を満たします。

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証明（定理 6.1）

1. 像は超平面 $H$ に入る。 単数 $u$ では $N(u)N(u^{-1}) = N(1) = 1$ で両方とも整数なので $N(u) = \pm1$。よって $\Gamma := \ell(\mathcal{O}_K^{\times})$ は $H = \{y \in \mathbb{R}^r \mid \sum y_k = 0\}$ に含まれます。

2. 離散性と核。 $\ell(u)$ が有界集合 $\{|y_k| \le C\}$ に入るなら $|\rho_k(u)| \le e^C$ で、$j(u)$ は格子 $j(\mathcal{O}_K)$ の有界集合内の点なので、そのような $u$ は有限個です（補題 2.2 の 2）。よって $\Gamma$ は 補題 6.2 の仮定を満たし、$\ker\ell$ は有限です。$\ker\ell$ は $K^{\times}$ の有限部分群なので巡回群（定理 7.3［多項式環と体の拡大］）で、元はすべて 1 のべき根です。逆に $\zeta \in \mu_K$ は $x^m - 1$ の根なので $\mathcal{O}_K$ に入り、$\zeta^{-1}$ も同様なので単数で、$|\rho_k(\zeta)| = 1$ より $\ell(\zeta) = 0$。ゆえに $\ker\ell = \mu_K$ は有限巡回群です。

3. $\Gamma$ は $H$ を張る。 $r = 1$ なら $H = 0$ で明らかです。$r \ge 2$ のとき、補題 6.3 で $k = 1, \ldots, r$ に対する単数 $u_k$ を取り、$a_{ik} = \ell_i(u_k)$ とおきます。$i \neq k$ で $a_{ik} \lt 0$、列和 $\sum_i a_{ik} = 0$ より $a_{kk} \gt 0$ です。左上 $(r-1)\times(r-1)$ 部分 $A' = (a_{ik})_{i,k \le r-1}$ が正則であることを示します。$A'^{\mathsf{T}}y = 0$ として $|y_i|$ が最大の $i$ を取ると、$a_{ii}y_i = -\sum_{k \neq i, k \le r-1} a_{ki}y_k$ より

$$a_{ii}|y_i| \le \sum_{k \neq i,\ k \le r-1} |a_{ki}|\,|y_i| \lt \sum_{k \neq i,\ k \le r} |a_{ki}|\,|y_i| = a_{ii}|y_i|$$

（最後の等号は列和が $0$ であること）となり、$y_i \neq 0$ なら矛盾です。よって $y = 0$ で $A'$ は正則、したがって $\ell(u_1), \ldots, \ell(u_{r-1})$ は一次独立で、$(r-1)$ 次元の $H$ を張ります。

4. まとめ。 補題 6.2 から $\Gamma \cong \mathbb{Z}^{r-1}$。$\Gamma$ の基底 $\ell(\varepsilon_1), \ldots, \ell(\varepsilon_{r-1})$ を取り、$\mu_K \times \mathbb{Z}^{r-1} \to \mathcal{O}_K^{\times}$、$(\zeta, m) \mapsto \zeta\prod_i\varepsilon_i^{m_i}$ を考えます。単射：像が $1$ なら $\ell$ を施して $\sum m_i\ell(\varepsilon_i) = 0$、基底なので $m = 0$、残りから $\zeta = 1$。全射：$u \in \mathcal{O}_K^{\times}$ に対し $\ell(u) = \sum m_i\ell(\varepsilon_i)$ と書くと $u\prod\varepsilon_i^{-m_i} \in \ker\ell = \mu_K$ です。

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$\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_{r-1}$ を基本単数といいます。$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ では $r = 2$ で、$1 + \sqrt2$ が基本単数です（S 単数と Kummer 理論 の例を参照）。虚二次体では $r = 1$ で単数群は有限、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ では $r_1 = 1$、$r_2 = 1$ で階数 $1$ です。単数定理は、類数の有限性とともに、有限個の素点の外で単数を考える S 単数定理の土台になります。

7. 演習

演習 7.1易

$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ の類数が $1$ であることを示せ。

解答

$-19 \equiv 1 \pmod 4$ なので $d_K = -19$（命題 8.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）、$M_K = \frac2\pi\sqrt{19} \approx 2.78$ です。定理 4.3 により、ノルム $2$ の素イデアルがなければ類数は $1$ です。ノルム $2$ の素イデアルは $2$ の上にあり、$-19 \equiv 5 \pmod 8$ なので $2$ は惰性（命題 8.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 3）、$2\mathcal{O}_K$ は素イデアルでノルム $4$ です。よってノルム $2$ の素イデアルはなく、$h_K = 1$ です。

演習 7.2標準

$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ の類数が $2$ であることを示せ。

解答

$-6 \equiv 2 \pmod 4$ なので $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$、$d_K = -24$、$M_K = \frac2\pi\sqrt{24} \approx 3.12$ です。$2, 3$ は $d_K$ を割るので分岐し、$(2) = \mathfrak{p}_2^2$、$(3) = \mathfrak{p}_3^2$（$\mathfrak{p}_2 = (2, \sqrt{-6})$、$\mathfrak{p}_3 = (3, \sqrt{-6})$、Kummer–Dedekind で $x^2 + 6 \equiv x^2$）。類群は $[\mathfrak{p}_2]$、$[\mathfrak{p}_3]$ で生成されます。$a^2 + 6b^2 = 2$、$3$ は整数解を持たないので、どちらも単項ではありません。$\sqrt{-6}$ は $\mathfrak{p}_2$ と $\mathfrak{p}_3$ に含まれノルムは $6 = N\mathfrak{p}_2N\mathfrak{p}_3$ なので $(\sqrt{-6}) = \mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3$、したがって $[\mathfrak{p}_3] = [\mathfrak{p}_2]^{-1} = [\mathfrak{p}_2]$（$[\mathfrak{p}_2]^2 = [(2)] = 1$）。$\mathrm{Cl}_K = \{1, [\mathfrak{p}_2]\}$ で $h_K = 2$ です。

演習 7.3標準

$K$ を 3 次の代数体とする。系 4.4 の証明の不等式 $\sqrt{|d_K|} \ge \frac{n^n}{n!}(\pi/4)^{r_2}$ を使って、$r_2 = 0$ なら $|d_K| \ge 21$、$r_2 = 1$ なら $|d_K| \ge 13$ を示せ。

解答

$n = 3$ で $n^n/n! = 27/6 = 4.5$。$r_2 = 0$ なら $\sqrt{|d_K|} \ge 4.5$、$|d_K| \ge 20.25$ で、$d_K$ は整数なので $|d_K| \ge 21$。$r_2 = 1$ なら $\sqrt{|d_K|} \ge 4.5 \cdot \pi/4 \approx 3.534$、$|d_K| \ge 12.49$ なので $|d_K| \ge 13$ です。（実際の最小値は、総実 3 次体で $49$、それ以外で $23$（絶対値）であることが知られています。）

参考文献

1. J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer, 1999 — 第 I 章 §4〜§7（Minkowski 理論、類数の有限性、単数定理）、第 III 章 §2（Hermite・Minkowski の定理）。
2. D. A. Marcus, Number Fields, Universitext, Springer, 1977 — 第 5 章（類群と単数群）。
3. I. Stewart and D. Tall, Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, 4th ed., CRC Press, 2015 — 幾何学的方法の章（Minkowski の定理、類群の計算）。
4. P. Samuel, Algebraic Theory of Numbers, Hermann, 1970 — 第 4 章。
5. 高木貞治『代数的整数論 第 2 版』岩波書店、1971 — 単数と類数。