類数の有限性

定理 4.3（「イデアル類群の有限性と Minkowski 限界」§4）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を代数体とする。イデアル類群 $\mathrm{Cl}_K$ の各類は、 $N\mathfrak{b} \le M_K$ を満たす整イデアル $\mathfrak{b}$ を含む。したがって $\mathrm{Cl}_K$ は有限群であり、ノルムが $M_K$ 以下の素イデアルの類で生成される。その位数 $h_K$ を類数という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 166 件、定義なども含めて 194 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分数イデアル定義 4.6・代数体の整数環と Dedekind 整域
Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- ノルム球の体積✓補題 4.1・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
    線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- Minkowski の格子点定理✓定理 2.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）
  - 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

第 1 不等式✓定理 6.3・類体論
p = x² + ny² と Hilbert 類体△系 8.3・類体論
Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
整数環の基本事実✓定理 2.2・S 単数と Kummer 理論

類数の有限性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件