数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極

定理 5.2（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で $\zeta_K(s)$ は絶対収束し、 $\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}}(1 - N\mathfrak{p}^{-s})^{-1} \ne 0$ である。
各射線類 $\mathfrak{K} \in \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ について、 $\zeta(s, \mathfrak{K}) - \kappa_{\mathfrak{m}}\zeta(s)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ の正則関数に延びる。
$\zeta_K(s)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ の有理型関数に延び、極は $s = 1$ の 1 位の極だけである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 223 件、定義なども含めて 256 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何か
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
射線類ごとの整イデアルの個数✓系 4.6・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデール
  - 弱近似定理（Artin–Whaples）✓定理 3.2・付値と完備化
    同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
  - イデールとイデアル類群✓定理 6.1・アデールとイデールこの先をたどる →
  - 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - コンパクト性 ⇔ 類数の有限性 + 単数定理✓定理 6.3・アデールとイデールこの先をたどる →
- Q のイデール類群✓命題 7.4・アデールとイデール
  - 制限直積は局所コンパクト群✓命題 3.2・アデールとイデールこの先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
  - 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
- 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か
  - ディリクレのエータ関数✓補題 4.2・リーマン予想とは何か
  - 解析接続定義 4.1・リーマン予想とは何か
類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 分数イデアル定義 4.6・代数体の整数環と Dedekind 整域
- Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - ノルム球の体積✓補題 4.1・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
  - 整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
  - Minkowski の格子点定理✓定理 2.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

解析的類数公式✓定理 5.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
射線類指標の L 関数と素イデアルの密度✓命題 6.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
二次体の類数公式✓系 8.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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関連するノック 1 問

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