離散付値体の完備化と逆極限

$v$ を体 $K$ の離散付値、$\mathcal{O}$ をその付値環、$\mathfrak{m}$ を極大イデアル、$\pi$ を素元とし、$c > 1$ について $|x| = c^{-v(x)}$ とする。$\widehat K$ を完備化、$\widehat{\mathcal{O}} := \{x \in \widehat K : |x| \le 1\}$、$\widehat{\mathfrak{m}} := \{x \in \widehat K : |x| < 1\}$ とする。

1. $\hat v(x) := -\log_c|x|$ は $\widehat K$ の離散付値で $v$ の延長であり、$\widehat{\mathcal{O}}$ はその付値環、$\pi$ は素元、$\widehat{\mathfrak{m}}^n = \pi^n\widehat{\mathcal{O}} = \{x : |x| \le c^{-n}\}$ である。
2. $\widehat{\mathcal{O}}$ は $\mathcal{O}$ の $\widehat K$ での閉包で、$\widehat{\mathcal{O}} \cap K = \mathcal{O}$。包含が誘導する $\mathcal{O}/\mathfrak{m}^n \to \widehat{\mathcal{O}}/\widehat{\mathfrak{m}}^n$ は、すべての $n \ge 1$ で環の同型である。特に剰余体は変わらない。
3. $x \mapsto (x \bmod \widehat{\mathfrak{m}}^n)_n$ は環の同型 $\widehat{\mathcal{O}} \cong \varprojlim_n\mathcal{O}/\mathfrak{m}^n$ である。すなわち $\widehat{\mathcal{O}}$ は $\mathcal{O}$ の $\mathfrak{m}$ 進完備化で、$\widehat{\mathcal{O}}$ 自身は $\widehat{\mathfrak{m}}$ 進完備な離散付値環（完備局所環）である。