$ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質

定理 5.2（「付値と完備化」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{Z}_p$ は $p$ を素元とする完備な離散付値環で、 $\mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ 、 $\mathbb{Z}_p \cong \varprojlim_n\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ である。剰余体は $\mathbb{F}_p$ である。
$\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}_p$ で稠密である。より詳しく、各 $x \in \mathbb{Z}_p$ と $n \ge 1$ に対し $x \equiv a \pmod{p^n\mathbb{Z}_p}$ となる整数 $0 \le a < p^n$ がただ 1 つある。
$\mathbb{Z}_p$ はコンパクトである。 $p^n\mathbb{Z}_p$ （ $n \in \mathbb{Z}$ ）は $\mathbb{Q}_p$ のコンパクトな開部分群で、 $0$ の基本近傍系をなす。 $\mathbb{Q}_p$ は局所コンパクトな Hausdorff 位相体（加法について局所コンパクト群。定義 7.1［局所コンパクト空間］）で、 $\mathbb{Z}_p^{\times}$ はコンパクトである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
- 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
  - 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
  - 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環
    付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 3 件

K は離散で余コンパクト✓定理 4.3・アデールとイデール
p 進展開✓命題 5.3・付値と完備化
$ℚ_p$ の 1 の冪根と Teichmüller 代表✓系 6.4・付値と完備化

Zpℤ_pZp​ と Qpℚ_pQp​ の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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関連するノック 2 問

$ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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