p 進展開

命題 5.3（「付値と完備化」§5）・ ✓公理まで証明済み

任意の $x \in \mathbb{Z}_p$ は $x = \sum_{n=0}^\infty a_np^n$ （ $a_n \in \{0, 1, \ldots, p - 1\}$ ）とただ 1 通りに書ける。逆にこの形の級数はすべて $\mathbb{Z}_p$ で収束する。任意の $x \in \mathbb{Q}_p^{\times}$ は $x = \sum_{n=m}^\infty a_np^n$ （ $m = v_p(x)$ 、 $a_m \ne 0$ ）とただ 1 通りに書ける。
$x \in \mathbb{Q}_p$ が有理数であることと、その $p$ 進展開の係数列 $(a_n)$ がある番号から先で周期的であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
$ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質✓定理 5.2・付値と完備化
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
    付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

p 進展開

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）