数学 › 可換環論 › 離散付値環と Dedekind 環

DVR の基本性質

命題 3.2（「離散付値環と Dedekind 環」§3）・ ✓公理まで証明済み

$v$ を体 $K$ の離散付値、 $A = A_v$ 、 $t$ を素元とする。

$A$ は局所環で、 $\mathfrak{m} = tA$ である。 $K^{\times}$ の任意の元は、単元 $u \in A^{\times}$ によりただ一通りに $x = ut^{v(x)}$ と書ける。
$A$ の $0$ でないイデアルは $t^nA = \mathfrak{m}^n$ （ $n \ge 0$ ）に限る。とくに $A$ は単項イデアル整域で、Noether 環である。
$A$ の素イデアルは $(0)$ と $\mathfrak{m}$ だけで、 $A$ は体でなく、 $\dim A = 1$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 8 件

引き戻しと有理関数・可逆層✓補題 5.2・曲線と Riemann–Roch の定理
引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理
局所体の乗法群の構造✓定理 7.2・局所体
離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
$ℤ_p$ の単数群✓命題 6.5・付値と完備化
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環上の有限生成加群✓命題 10.3・離散付値環と Dedekind 環

関連するノック 2 問