$ℤ_p$ の単数群

命題 6.5（「付値と完備化」§6）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を素数とする。

$\mathbb{Q}_p^{\times} = p^{\mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}_p^{\times}$ （ $x = p^{v_p(x)}u$ とただ 1 通りに書ける）。
$p$ が奇数なら $\mathbb{Z}_p^{\times} = \mu_{p-1} \times (1 + p\mathbb{Z}_p)$ 。
$\mathbb{Z}_2^{\times} = \{\pm 1\} \times (1 + 4\mathbb{Z}_2)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 31 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
$ℚ_p$ の 1 の冪根と Teichmüller 代表✓系 6.4・付値と完備化
- Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化
  - 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
  - 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
    完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
    DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
  - Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題
    モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
- $1 + pℤ_p$ に捩れはない✓補題 6.3・付値と完備化
- $ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質✓定理 5.2・付値と完備化
  - 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化（上で展開済み）
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
    局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 1 件

$ℚ_p$ の平方元✓命題 6.6・付値と完備化

Zpℤ_pZp​ の単数群

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