数学 › 代数的整数論・類体論 › 付値と完備化

Hensel の補題

定理 6.1（「付値と完備化」§6） ・ ✓公理まで証明済み

KK を非 Archimedes 的な完備付値体、O\mathcal{O} をその付値環とする。

  1. （Newton 法の形）f∈O[X]f \in \mathcal{O}[X]、a0∈Oa_0 \in \mathcal{O} が ∣f(a0)∣<∣f′(a0)∣2|f(a_0)| < |f'(a_0)|^2 を満たすとする。このとき f(a)=0f(a) = 0 かつ ∣a−a0∣<∣f′(a0)∣|a - a_0| < |f'(a_0)| を満たす a∈Oa \in \mathcal{O} がただ 1 つ存在する。さらに ∣a−a0∣=∣f(a0)∣/∣f′(a0)∣|a - a_0| = |f(a_0)|/|f'(a_0)|、∣f′(a)∣=∣f′(a0)∣|f'(a)| = |f'(a_0)| である。
  2. （因数分解の形）絶対値が離散的であるとし、m\mathfrak{m} を極大イデアル、κ=O/m\kappa = \mathcal{O}/\mathfrak{m} とする。モニック多項式 f∈O[X]f \in \mathcal{O}[X] の還元 fˉ∈κ[X]\bar f \in \kappa[X] が、互いに素なモニック多項式の積 fˉ=g0h0\bar f = g_0h_0 に分解すれば、f=ghf = gh、gˉ=g0\bar g = g_0、hˉ=h0\bar h = h_0 となるモニック多項式 g,h∈O[X]g, h \in \mathcal{O}[X] がある。特に fˉ\bar f の単根 α∈κ\alpha \in \kappa は ff の根 a∈Oa \in \mathcal{O}、aˉ=α\bar a = \alpha にただ 1 通りに持ち上がる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

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