ノルム写像の性質

命題 8.2（「アデールとイデール」§8）・ ✓公理まで証明済み

$N_{L/K} : \mathbb{I}_L \to \mathbb{I}_K$ は連続準同型で、 $L^{\times}$ の上では体のノルムに一致し、 $\|N_{L/K}(b)\|_K = \|b\|_L$ である。したがって連続準同型 $N_{L/K} : C_L \to C_K$ を誘導する。
$N_{L/K}(\mathbb{I}_L)$ はあるモジュラス $\mathfrak{m}$ について $U_{\mathfrak{m}}$ を含む。したがって $N_{L/K}(C_L)$ は $C_K$ の指数有限の開部分群で、閉集合である。
$b \in \mathbb{I}_L$ について $\iota_K(N_{L/K}(b)) = N_{L/K}(\iota_L(b))$ である（右辺はイデアルの相対ノルム）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 294 件、定義なども含めて 329 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
- 代数体の素点の分類✓定理 8.3・付値と完備化
  - 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
  - 完備な Archimedes 的付値体は ℝ か ℂ✓定理 8.1・付値と完備化この先をたどる →
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）
- 代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質
  - リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体
  - 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
- 無限体上の線形空間は真の部分空間の有限和集合でない✓補題 3.2・局所体
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化この先をたどる →
- 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体（上で展開済み）
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）
完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体（上で展開済み）
- 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体この先をたどる →
分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性✓定理 4.4・局所体
- 不分岐拡大の分類✓定理 4.2・局所体この先をたどる →
- 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体この先をたどる →
- 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体（上で展開済み）
Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化この先をたどる →
- I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
$C_K$ の開部分群と合同部分群✓定理 7.3・アデールとイデール
- 射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデールこの先をたどる →
イデアルの相対ノルム定義 7.1・分解群・惰性群・Frobenius 元

これを使っている定理証明で参照している 2 件

第 2 不等式✓定理 6.4・類体論
Q 上の相互法則と存在定理✓定理 7.6・類体論

ノルム写像の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件